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Full text of "Traité d'arithmétique [microforme] : à l'usage des candidats et élèves aux écoles spéciales"

CIHM 
Microfiche 
Séries 
(IMonographs) 



ICMH 

Collection de 
microfiches 
(monographies) 




Cmadton ImMuM for Hittorlcal MIcroriproduetiaiw / InMhiit eanadiwi d* microraprodiictiaiw hMoriquM 




1995 



Technical and Bibliographie Notes / Notes technique et bibliographiques 



The Institute has attempted to obtain the best original 
copy available for (ilming. Features of this copy which 
may be bibllographically unique, which may aller any of 
the images in the reproduction, or which may 
significantly change the usual method of filming are 
checked below. 





D 

n 

D 
D 
D 

D 

D 

D 

D 

D 



Coloured covere / 
Couverture de couleur 

Covers damaged / 
Couverture endommagée 

Covers restored and/or laminated / 
Couverture restaurée et/ou pelliculée 

Cover tiUe missing / Le titre de couverture manque 

Colouied maps / Cartes géographiques en couleur 

Cdoursd ink (l.e. other than Ijlue or black) / 
Encre de couleur (l.e. autre que t}leue ou noire) 

Coloured plates and/or lausuations / 
Planches et/ou Illustrations en couleur 

Bound with ottier material / 
Relié avec d'autres documents 

Only édition avaiiatile / 
Seule édition dnponiljle 

Tight binding nuy cause stiadows or distortion 
along Interior margin / La reliure serrée peut 
causer de l'ombre ou de la distorsion le long de 
la marge intérieure. 

Blank leavee added duiing rastorations may appear 
within the text. Whenever possible, thèse hâve 
been omltled from filming / Il se peut que csitaines 
pages blanches ajoutées kxs d'une restauration 
apparaissent dans le texte, mais, lonque esta était 
possible, ces pages n'ont pas été nmées. 



L'Institut a microfilmé le nwilieur examplaire qu'il lui a 
été possible de se procurer. Las détails de cet exem- 
plaire qui sont peut-être uniques du point de vue bibli- 
ographique, qui peuvent modifier une image reproduite, 
ou qui peuvent exiger une modifications dans la méth- 
ode nomnale de filmage sont indiqués ci-dessous. 

I I Colourad pages /Pages de couleur 

I I Pages damagsd/ Pages endommagées 

I I Pages restored and/or laminated/ 
' — ' Pages restaurées et/ou pelliculées 



ca 



Pages discoloured, stained or loxed / 
Pages décolotées, tachetées ou piquées 



I I Pages detached/ Pages détachées 

rt] Showlhrough / Transparence 

ry\ Qualityofprint varies/ 

' — ' Qualité inégale de l'impression 

I I Indudessupplementary matériel/ 
' — ' Comprend du matériel supplémentaire 

I I Pages wholly or partially obsuured by errata 
' — ' slips, tissues, etc., hâve been refilmed to 
ensure the best possible image / Les pages 
totalement ou partiellement obscurcies par un 
feuillet d'errata, une pelure, etc., ont été filmées 
à nouveau de façon à obtenir la meilleure 
Image possible. 

I I Opposing «jages .«ith varying colouration or 
' — ' discolourations are filmed twice to ensure the 
best possible Image / Les pages s'opposent 
ayant des colorations variables ou des décol- 
ontlons sont filmées deux fois afin d'obtenir la 
meilleur image possible. 



D 



AdcHoned comments / 
Commentaires supplémentairaK 



Thii ittm is filmed et the reduetiofi retio diecked bthm/ 

Ce docwRent est fUmé eu teux dt réductiofi iwWmrf ci 'd eHo ut. 



lOX 








14X 








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22X 








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3DX 










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3 



12X 



XX 



2«x 



Th» eopy filmad h*r* haa baan raproduead thanka 
to Iha ganaroaity of: 

National Llbrary of Canada 



L'aaamplaira filin4 fut raproduil grica t la 
généroaité da: 

Blbllothi<iua natlonala du Canada 



Tha imagaa appaaring hara ara Iha baat quality 
peaaibla eenaidaring tha condition and laglbility 
of Iha original eopy and in kaoplng with tha 
filming eontraet apaellleatlona. 



Original eopiaa in printod papor eovara ara filmad 
baginning with tha front eovar and anding on 
tha laat paga with a printad or illuatratad improa- 
tion, or tha back covor whan appropriala. Ail 
othar original eopiaa ara filmad baginning on tha 
firat paga with a printad or Illuatratad >mprk«- 
aion. and anding on tha laat paga with a printad 
or illuatratad impraaaion. 



Laa imagaa iuivantaa ont été raproduitat avac la 
plua grand aoin. compta tanu da la condition at 
da la nanaté da l'aaamplaira filmé, at tn 
conformité avae laa eondltlona du contrat da 
fUmaga. 

Laa aaampiairaa originaux dont la couvartura an 
papiar aat Impriméa lont filméa an commençant 
par la pramiar plat at an tarminant aoit par la 
darniéra paga qui comporta una amprainta 
d'impraaaien ou d'illuattation, loit par la tacond 
plat, aalon la eaa. Toua laa autraa aaamplairaa 
originaui cont filméa an commançant par la 
pramiéra page qui comporta una amprainta 
d'impraaaion ou d'illuatration at an tarminant par 
la darniéra paga qui comporta una talla 
amprainta. 



Tha laat racordad frama on aach microficha 
ahall eontain tha lymbol —»■ Imaaning "CON- 
TINUEO"!. or tha «ymbol ▼ Imaaning "ENO"). 
whiehavar appliaa. 



Un daa lymboloa aulvanti apparaîtra aur la 
darniéra imaga da chaqua microfiche, talon la 
eaa: la symbole -^ signifie "A SUIVRE", le 
symbole V signifie "FIN". 



Mapa, plataa. charu, etc., may ba filmad at 
différent réduction retioa. Thoae loo large to be 
entirely included in one expoeura ara filmad 
baginning In tha uppar latt hend corner, left to 
right and top to bottom. aa many framea aa 
raquirad. Tha following diagrams illustrate the 
methed: 



Lea eanaa, planchée, ubieau». etc.. peuvent être 
filméa é dee tau» da réduction différents. 
Lorsque le document eat trop grand pour être 
reproduit en un seul cliché, il eei filmé é pertir 
de l'angle supérieur gauche, de gauche é droite. 
et de haut en baa, an prenant le nombre 
d'imegee néceaaaira. Les diagrammea suivants 
Illustrant la méthode. 



1 


2 


3 




1 


2 


3 


4 


S 


6 



MKIOCOfV ■OaUlTION TBT OMIT 

(ANSI ond eo TEST CHMT No. ]| 



1.0 






M 



Huilai 



L2-3 



12.2 



12.0 



1.8 



1.6 



A 



/1PPLIED irvMGE Inc 



1693 Eotl Main StrMt 



(716) 4M - 0300 - Phona 




D'ARITHIlil^QUE 

DU (uNDioAm tr aàm 

ADX «001.1» WtOIALH 

PAB 

4 

L'École Centraliy^Pr^mralim a tfArfaUg* 

;:«e QiiAm, 

ilncten Moe ib'fifwfc Mililam de Belgi^. 




iMtMoriM 
et n jmiTant . 
l'intalugaiioa qw 
tons ÏÊt a* pu 
poMuit mMw qa' 
°ii'>jt<U«iito. 




(twniin). 



QA 106 
F94 



PREMIÈRE ËDITfON 



-4? 



IwUMVn'M^ " II* l4BU Pamu 



NOT 




.'H, 



,%/ 



TRAITE 

D'ARITHMÉTIQUE 

A L'UHAOE 

DIS CANDIDATS ET ÉLÈVES 

AUX ÉCOLES SPÉCIALES 

PAR 
ALFRED F Y EN 

Pro/euKur de MathémcUiqutM 

A 

V École, Centrale iU Préparation et d'A rpenfage 

de Quéhte., 

Ancien éiioe de C Ecole Militaire de Bdgique. 



Les théories j{éniîral(w se classent 
ot se gravent plus facilement dans 
l'intelngence que la connaissance de 
touft les cas particuliers,, en sup- 
posant même qu'aucun de œux-oi 
n'ait été omis 

^LSCOWTK). 



PREMIÈRE ÉDITION 



QUÉBEC 
Ihpbihebie de " La Libre Pabole " 



1907 



ni- 



I 

I 



1 

43* 



Enregistré, conforniémout h rMt« dn Parlement du Canada on Van mil 
nauf cent et sept. 



Tovà^ts txanplairea nmaU la aignaturt de tauttur. 




I 



r< 



p. 



fi 



DÉDIE 

À 

MONSEIQNEna 0. A. HTATHIETT 

Reiteitr de 
L'UNivuuiTk Laval un Qumic 



TRAITÉ D'ARITHMÉTIQUE 



CHAPITRE I. 
DIS NOMBBIS limiRS. 



§ 1— NUMÉRATIO». 

1 L'arithmétique est la ncienee des nombres. Elle fait 
connaître leurs propriétés et nous onne la raison des procédés 
qu on emploie pour les combiner itre eux. 

S2. On appelle nombre, la collection de plusieurs unités on 
quantités iU «wW apice et égales entre elles. On pent 
encore dire qu'un nombre est l'expression du 'oport d'une 
grandeur quelconque comparée à l'uuité prise < ,me terme 
de comparaison. 

8. On entend par quantité ou grandeur, tout ce qui est 
susceptible d'augmentation ou de diminution. Comparer une 
grandeur à l'unité prise comme terme de comparaison c'est 
meaurtr cette grandeur. 

4. Un nombre est dit oonoret. quand il désigne l'espiee 
d unité qu'il renferme : cinq Aom«K« ; il est dit abstrait quand 
Il ne désigne par l'espèce d'unité qu'il renferme : cinq 

6. Les nombres concrets ou abstraits peuvent être entiers, 
décimaux ou fraotionnalres : entiers, lorsqu'ils ne con- 
tiennent que des unité» entières, comme dix ^lommes, quinze 
joura ; décimaux, lorsqu'ils contiennent, outre les entiers des 
subdivisions décimales, comme cinq piastres cinquante centins 
8. Le. nombres dits complexe, sont des nombres dont I. 
•yatème de décomposition n'est pas décimal et dont lea 



anb-^i visions se rapportent à des nnit<s difiérentes. Exemple : 
10 jonrs, 6 heures, 17 minâtes et 45 secondes. 

t. L'arithmétique se divise en deux parties : la numération 
et le oaloul. 

8. La numération est la partie qui apprend à former, à 
écrire, à énoncer et à reproduire tous les nombres. De là, 
deux espèces de numération : la numération p^vUe et la 
numération écrite. 



■A — Numération pabléb. 

9. La numéraiion parki est l'art d'énoncer tous les 
nombres à l'aide d'un nombre limité de mots. 

10. On entend par système de numération parléç, 
l'ensemble des conventions que l'on a faites pour former le' 
nom des nombres. 

11. Voici comment on a procédé : 

On a donné un nom particulier aux neuf premiers nombres : 
un. deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huU, neuf que l'on a 
appelés unités simples. 

Fn ajoutant une unité à neuf, on a appelé le nombre 
résultant dijc formant l'unité de l'ordre des dizaines, et on a 
compté par dizaines, comme on avait compté par unités et 

l'on a, dit : une dizaine, deux dizaines, trois dizaines 

neuf dizaines, que l'on a appelé dix, vingt, trente, quarante, 
cinquante, soixante, septante (plus communément appelé 
soixaTUe et dix), octante (quatre-vingt), nonante (quatre- 
vingt-dix). Entre chaque dizaine, on a intercalé le nom des 
neuf premiers nombi-es, et on a ainsi formé tous les nombres 
jusque nonante-neu,/ ou quatre-vinql-.lix-neaf. 
On a obtenu ainsi : 

Dix-un que l'on a appelé onze 

Dix-deux ' " douze 

Dix-trois " " •• ■■ treize 
Dix-quatre " " •< •• quatorze 
Dix-cinq " « ■■ « j„i„ge 



Diz-siz " " " " seize 
Dix-aept, dix-hv,it, dix-neuf 

(Vingt) vingt-et-vM vingt-neuf 

(Trente) trente-et-un , . trente-neuf 

_ (Nonante) nonante-neuf (quatre-vingt- 

dix-neuf) 

A ce dernier nombre, on a ajouté une unité et on a appelé 
ce nouveau nombre cent ou unité de 3° ordre. 

Ou a compté par centaines, comme on avait compté par 

unités et dizaines, en disant : cent, deux cents, trois cents 

neuf cents entre lesquels on a intercalé les quatre-vingt-dix- 
neuf premiers nombres, et on a obtenu ainsi tous les nombres 
jusque neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf Une unité, ajoutée 
à ce dernier nombre, a formé la classe des mille ou unité de 
la deuxième olasae. 

Cette deuxième classe a cté formée comme la classe des 
unités, dizaines et centaines d'unités simples et l'on a obtenu 
ainsi le nom de tous les nombres jusque neuf-cent-quatrg- 
dix-neuf-mille-neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf. 

Après la classe des mille, on a formé la S" classe ou classe 

des miUioiui, puis la classe des billions et ainsi de suite. 

Chacune de ces classes possède ses unités, dizaines et centaines. 

12 Ce système a reçu le nom de décimal parce que le 

nom dix en est la base. 

13. Remarque. — Une unité d'un ordre quelconque vaut dix, 

cent, mille unités d'un ordre inférieur, suivant que le 

premier occupe un, deux, trois rangs à gauche dn 

second. 

B. — Numération écrite. 

14. La numération écrite est l'art de reproduire tons les 
nombres possibles au moyen de quelqnes caractères appelés 
ohlArea. 



— 8 — 

15. Comme nous l'avons vu dans la numération parlée, la 
suite des nombres est illimitée ; il ne serait donc pas possible 
d'attribuer un signe particulier à chaque nombre. Pour 
simplifier la question, on a opéré pour la numération écrite 
éomme on avait opéré pour la numération parlée et l'on a 
donné un caractère particulier aux neuf premiers nombres : 
1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 9. 

Pour former la première dizaine, on a employé un dizième 
caractère (zéro) qui, par lui-même, n'a aucune valeur, mais 
qui permet, en égard à la remarque (13) de donner à chacun 

des chiffres nne valeur dix, cent, mille fois plus grande, 

suivant le rang qu'il occupera, en plaçant à la droite un, deux, 

*">* aéros, et qui permet de remplacer les unités des 

ordres qui viendraient à manquer. 

16. Nous voyons donc, dès lor^ qu'à chaque chiffre peuvent 
être attribuées deux valeurs : 

1° I.a valeSir absolue qui est celle que le chiffre acquiert 
lorsqu'il est considéré isolément, c'est-à-dire, celle que lui 
donne l'image qui le représente ; 

2° La valeur relative ou de position qui est celle que le 
chiffre ocqniert, en égard à la place qu'il occupe "dans un 
nombre, en vertu de ce principe, qui est la base de tout notre 
système décimal : ttn chiffre placé à la gauche d'un aiUre 
représente des unités d'un ordre dix fois supérieur à cet 
autre. 

Ainsi, pour représenter le nombre cinquante-deux, on écrit 
62. 

Le nombre six-cent-soixante-trois s'écrit 663. 

sept-mille-quatre-cent-trente et-un s'écrit 7431. 
Soixante-deux-millions-cinq-cent-et-sept s'écrit 62000507. 

17. De ce qui précède sur la numération, on peut déduire 
les deux règles suivantes : 

Kègle I — Pour énoncer un nombre écrit en chiffres, on 
partage le nombre en trancfies de trois chiffres chacune, en 
aUarU de droiU à gauche ; et, commençant par la tranche d» 



i 



-9- 

gauche, on énonce sueceaaivement chaque tranche comme ai 
elle était ieule, en y ajoutant le nom de la classe <Vunité qui 
lui citrrespond. 

Règle II — Pour écrire en chiffres un mrnibre énoncé, on 
écrit successivement, en allant de gauche à droite, les nombres 
des diverses classes d'unités, comme ils sont énoncés, en ayant 
soin de remplacer par de» zéros Us classes ou le» uniiés des 
divers ordres qui viendraient à manquer. 

§ 2.— Calcul des nombres entiers. 

18. Le calcul renferme un certain nombre d'opérations que 
nous rencontrerons dans le cours de cet ouvrage et parmi 
elles, il en est quatre qui servent de base à toutes les autres, et 
que, pour cette raison, on appelle fondamentales ; ce sont 
l'addition, la soustraotion, la multiplioation, et la divigion. 

19. On appelle théorème, une propriété qui ne devient 
évidente qu'à la suite d'une démonstration. 

20. La définition fait connaître le but que l'on se propose. 
SI. La démonstration est la suite des raisonnements que 

l'on doit faire pour arriver à mettre eu lumière l'énoncé d'un 
théorème ou d'une définition. 

22. La Règle est la conséquence de la démonstration ; c'est, 
en quelque aorte, la traduction en langage ordinaire des 
opérations effectuées pendant la démonstration pour arriver 
au but proposé. 

23. L'exemple est l'application de la règle. 

24. La preuve est une seconde opération, différente de la 
première, qui tend à en démontrer l'exactitude ou montrer 
qu'une erreur a été commise. 

25. Résoudre un problème, c'est déterminer les nombres 
ou les inconnues au moyen des nombres connus. 

A. — Addition. 

38 Définition — L'addition est une opération qui a pour 
6W de réunir plusieurs nombres en un seul appelé somma 
ou total. 



— ^ ■i^^--...'-.,'V\^*^'*. 



— 10 — 

L'addition s'indique par le signe + (plus) que l'on place 
entre les nombres à additionner. 

27. Il faut former un nombre appelé somme ou total qui 
renferme, à lui seul, autant d'unités des diflërents ordres qu'il 
y en a dans les nombres proposés. 

Or, nous savons que nous ne pouvons comparer que des 
unités de même espèce, c'est-à-dire que nous ne pouvons pas 
former un tout avec des espèces différentes ; ainsi, par 
exemple, 5 pommes plus 6 poires, cela fait onze objets ; mais, 
on ne peut donner à r is olyets la désignation de poires ou de 
pommes. Par analogie, on ne peut donc ajouter que des 
unités k des unités, des dizaines à des dizaines, et ainsi de 
suite. 

28. D'où Règle.— Pour additionner plu$ieura nombres, 
il faut les éci-ire les uns en dessous des autres de manière 
que les unités d'un m4me ordre soient dans une même 
colonne verticale, souligner le, dernier d'un trait horizontal 
pour le séparer du résultat ; additionner succesivement, 
. en commençant par la droite, les nombres contenus dans 
chaque colonne ; si la somme ne dépasse pas 9, on l'écrit telle 
qu'on l'a trouvée ; dans le cas contraire, elle contient des 
unités de l'ordre immMiatemevi supérieur que l'on reporte 
sur la cdonne suivante, et ainsi de suite, pour toutes les 
colonnes jusque la dernière en dessous de laquelle on écrit 
la somme trouvée. 

Exemple : 462 + 347 + 563 -1-613 

452 462 

347 347 

563 fifi3 

613 5o3 

15 Somme de la coionne des unités. I!l75 

16 " " '■ " dizaines. 

18 " " " " centaines. » 



1975 Somme totale. 



— 11 — 

29. Pwuve de l'addition -Pour fairt la preuv» dé 
laddUum. on effectue la même opération de haut en bas «i 
on la commencée de bas en haut et réciproquement, 'u 
résultat doit être le même. 

30. Autre ,Hani>c de faire la preuve.-On peut séparer 
un mi plusieurs des nombres proposés et faire la somme des 
nombres restants, puis additionner avec cette somme la somme 
des nombres rais à part. 

B. —Soustraction. 

31. Définition.—/;» soustraction est une opération qui a 
pour but, étant donnés deux nombres, d'en trouver un 
troisième appelé reste, excès ou dlSérenoe qui. ajouté au 
plus petit, reproduit le plus grand. 

32. ^è^iel.— Pour soustraire un nombre d'un seul ehifre 
dun autre no.Mre, on retranche du, plus grand successive- 
ment autant d'unités qu'il y a dans le plus petit. 

Exemple: 9-.5 = 4, En effet 9-1=8- 8-1-7- 
7-1=6; 6-)=5; 5-1=4. 

33. Règle II —Poit'- soustraire un nombre d'un autre, 
on écrit U plus petit en dessous du plus grand, en ayant 
soin que Us unités d un yn'.m ordre .oient dans une me^me 
colonne verticale et l'on souligne le tout pour U séparer du 
résuMat que l'on écrit en ilessoun. Ensuite, commençant par 
la première colonne de droite, on rHranche le chiffre 
inférieur du chiffre supérieur correspondant, et l'on écrit U 
résultat en dessous de la colonne ; on opère successivement 
et de la méms manière sur chaque colonne jusque la 
'dernière colonne de gauche. 

Exemple : Soit à soustraire 524 de 786 

786 
524 

Reste 26S 



-18 — 

84. Si le obiffre que l'on doit soustraire est pins grand qae 
celai dont on doit le soustraire, l'opération semble impossible ; 
mais, dans ee cas on emprunte une unité à la colonne de l'ordre 
immédiatement supérieur qui vaut 10 unités de l'ordre de la 
colonne considérée. 
ExiMPLG : 724 L'on dit : 6 de 4, cela ne se peut ; 

636 empruntant une unité à la colonne 

des dizaines qui' vaut dix unités 

Beste 133 simples, 10 et 4=14 unités; 6 de 
14, il reste 8 que l'on écrit sous la 
colonne des unités. Ayant emprunté 1 dizaine, il n'en reste 
pins qu'une au lieu de 2 et 8 dizaines de 1 dizaine cela ne se 
peut ; empruntant une unité & la colonne suivante des 
centaines qui vaut 10 dizaines, on dit 10 + 1 = 11 et 8 de 
11 ~ 3. Passant à la colnnne des'centaines 6 de 6 — 1. Le 
reste est donc 138. 

35. Preuve de la soustraction. — La preuve de la 
soustraction tire son procédé de la définition même de la 
soustraction. Il faut que U reste ajouté au plus petit des 
deux nombres donnés reproduise le plus grand. 

Dans la soustraction précédente, le reste 138 + 586 =■ 724. 

C— Multiplication. 



36. Définition. — La multiplication est une opération par 
laquelle, étant donnée deux nonu/res, l'un appelé multipli- 
cande et l'autre multiplicateur, U s'agit d'en former un 
troisième, appelé produit, gui soit formé avec le midtipli- 
eande comme le miUtiplicateur a été formé avec l'unité. 

Il suit de la définition même de U multiplication, que le 
produit est de la même nature que. le multiplicande, puisqu'il 
n'est autre chose que le multiplicande répété un certain 
nombre de fois indiqué par le multiplicateur. 

Le mvUiplicateur est donc toujours ur, nombre abstrait 
qui n'a d'utilité que de marquer combien de fois doit être 
répété la multiplicande. 



— 18 — 

87. Troii eaa peuvent m préeenter r 

1° Multiplication d'un diiffre par un ehifire. 
S* " de plusieurs ehittres par on ehi£fre 

3' " " " chiffres par plusieurs 

chiffres. 

88. Itr Co».— Soit à multiplier 7X3. 

D'après la définition, le produit doit être formé avec le 
multiplicande 7 comme le multiplicateur 3 a été formé avec 
l'unité. Or, 3 a été formé en répétant l'unité 3 fois, donc le 
produit s'obtiendra en répétant le multiplicande 7, trois fois, 
c'est-à-dire 7 -|- 7 -I- 7 = 21. 

Les résultats de la multiplication des nombres de 1 chiffre 
pris deux à deux ont été réunis dans un tableau, qu'on appelle 
tabU de muMplication ou table de Pythagore. 

39. Se Cos.— Soit à multiplier 734 x 4 

D'après la déiinition, le profluit doit être formé avec 734 
comme 4 a été formé avec l'unité. Or, répéter 4 fois le nombre 
734, revient à prendre 4 fois les unités, 4 fois les dizaines, 
4 fois lea centaines et ftiire la somme de tous les résultats, en 
ayant soin de reporter sur les dizaines, celles obtenues par 
l'addition des unités ; sur les centaines celles obtenues par 
l'addition des dizaines, etc. 

734 4X4 unités = 6 unités + 1 dizaine 

4 4X8 dizaines — 12 dizaines — 2 dizaines -I- 1 centaine 

4X7 centaines = 18 centaines 

2936 

Ce produit se compose donc de 6 unités, 3 dizaines et 
29 centaines, c'est-à-dire 2936 unités. 

40. Avant de démontrer le 3" cas, nous allons démontrer 
les principes suivants, sur jesquels est basée la démonstration 
du 3" cas. 

41. Principe I. — Dans un produit de deux ou plusieurs 
facteurs, on pevt intervertir l'ordre des facteurs. 

En effet, je dis que 4 X 3 - 3 X 4 Car : 
4X3 = 4 -)-4-F4= 12 et 
3x4-3-)- 3 + 3-1-3 = 12. 



•i 



— u — 

48. Prinoipe II. — P»wr miUtiplùr un nombre par un 
miUtipU ou un« puimmce qudamque de 10, il auffii de 
multiplier ce nombre par le chiffre significatif du multiple 
et d^ajouter à la droite du résultat autatU de que l'indique 
l'indice de la puissance. 
1° Soit à multiplier 73 X 10. 

Cette opération indique qu'il faut rendre le nombre 73, dix 
foi» plus grand, c'e«t-it-dire exprimer chacune de ses unités 
dans un ordre dix fois plus grand. Il suffit pour cela, en 
vertu du principe de la nujaération (16, 2») de faire avancer 
chacun des chiffres d'un rang vêts la gauche, ce qui se fait ea 
écrivant un zéro à la droite du nombre. On obtient ainsi 
73X10=780. 
2° Soit à multiplier 73 x 600. 

Or 600 = 6 X 100 = 6 X 10' Donc 7b X 600-736 X 10'= 
438 X 10'. 

Ce qui revient à rendre les unités de 438 cent fois plus 
grandes, cVat-à-dire les faire avancer de 2 rangs vers la 
gauche, ce qui se fait en écrivant 2 zéros à la droite du 
nombre considéré, donc 43800. 

43. PrlDolpe III — Pour multiplier un nombre par «ne 
somme, il suffit de le multiplier par chacune des parties de 
la somme et de faire la somme des produits partiels. 

Soit à multiplier (o x 6 x c; par ni. 

Jedisque(a + 6 + c)XOT = am + 6m+<;m. 

En eflet : (a + 6 + c) x m = (o + 6 + c) + (a + 6 + c) + 

(a + 6 + c) le groupe (a + b + c) étant répété m fois 

(définition de la multiplication). Or cette somme contient 
m fois le nombre a, m fois le nombre b, et m fbis le nombre e, ■ 
donc : 

(<i + 6 + c)m = o + a + a..+6 + 6 + 6.. + c + c + c 
d'où 

(o + 6 + c) m — m X o + m X 6 + TO xo et, comme^^on 
peut intervertir l'ordre des facteurs, il vient : 
(a + 6xc)m = oXm-i-6XTO + cXm. 



— 18 — 

44. ReprenoDi le 8* Cm : 

Soii à multiplier 7486 X 342. 

Or 342 -(2+40 + 300) donc: 

7486 X 342 - 7436 X (2 f 40 + 300) 

- 7436 X 2 -> 7486 X 40 + 7436 X 300 
(Principe III). 

Chacune des opération, indiquées dans le 2c membre de 
cette dernière égalité peut s'effectuer en vertu -lu 2« cas (39^ 
et du principe II (42). ' 

Or: 

mJSicaLt '" ""'"" "" '^"'"P'-'-'^'' P*' '- unité, du 

du'2tî;^ru;^ ''™'"'' '" -"'"'""'""'^^ '- '•» •'-'- 

du'mulXti'^ ""'"" '" "■"'""''=*'"'' '""• '•=' '«"•-' 
^où Règle. -Pour multiplier un nombre de plusieurs 
ck^fres par un nombre de plusieurs chiffres, il faut multplisT 
lemuUipltcande par chacune des umtés du mulipli^atewr 
et taire Ui somme des produit partiels obtenus 

40. Preuve de la multiplioatlon.-La preuve ,,e fait par 
a mult>plieafo„ de, mêmes nombres, mais en renversant 
1 ordre des facteurs (41) Nous verrons plus loin ( ) 1. 
preuve de la multiplication par un nombre quelconque. 
D.— Division. 

46. Définition. — Za division est une opération var 
laqueUe. étant donné U produit de S facteurs appelé dlvl. 
dende, e lun des facteurs, appelé dlvlaeur, on demande de 
trouver l autre facteur, appelé quotient. 

47. Trois cas peuvent se présenter : 

ierOas.-U diviseur n'a qu'un chiffre et le dividende ne 
dépasse pus 10 fois le diviseur. 

2e Ca«.-Le dividende et le diviseur sont des nombres 
Ss'i^ur^"^'' "*" '* '^'"''""^* °« ^^f^ P«» 10 fois le 



•J 



— 16 — 

3« Oa» —Le dividanda at la diviMur lont dei nombras 
qaaieonquai at le dividende eit plat grand que 10 foie la 
divifanr. 

48l Itr Ca*.— Voir Ubie de mnltiplieatioo. 

49. té Cm.— Soit à diviser 440 par 65 

Le dividende, itant le produit da diviaeur par le quotient, 
le produit dea dizainei du diviseur par lea unité* du quotient 
ne pourra "^ trouver que dans lea dizaines du dividende. 
Donc, pour trouver le chiffre du quotient, il auffira de diviser 
lea dizainea du dividende par les dizaines du diviseur, oe que 
nous pouvons taue en vertu du 1er eas de la division (48). 

Nous trouverons ainsi le chiffre exact du quotient ou un 
chiffre trop fort ; car, le procuit de ce chiffre par les dizainea 
du diviseur peut être augmenté par les dizaines qui auraient 
reflué de la multiplication des lunités du diviseur par le 
quotient. Pour s'asnurer de la chose, on multiplie le diviseur , 
par le chiffre trouvé au quotient, et, si le produit peut sa 
retrancher du dividende, c'est que le chiffre est bon ) si cela 
ne peut se faire, on le diminue successivement de une unité 
jusqu'à ce qu'on obtienne un produit qui puisse se soustraire 
du dividende et dciDUor un reste plus petit que le diviseur ou 
un reste nul. 

440 I 55 
440 8~ 



50. 3e CtM.— Soit à diviser 86750 par 235. 

La première chose à faire est de rechercher quelle est 
l'espèce de la plus haute unité du quotient et ensuite quelle 
sera cette unité. Or le dividende est le produit du diviseur 
par le quotient ; donc en multipliant 235 par les unités du 
quotient, il faut reproduire le dividende. 

Mais 235 X 1 < 86750 donc le quotient contient des unités. 

235 X 10 < 86750 " " " " des dizaines. 

235 X lOO < 86750 " " " " des centaines. 

235 X 1000 > 86750 " " " ne contient paa 

d'unité de mille. 






- il — 

L'espice dei plm hautoi unité* do qantient oit ,).)i)o 
aétarminé et wra dei eentaines. 

Or, le produit du diviieur par len centnineu .In quotient . «t 
nn nombre exact de centaine* qui ne iwnt se trouver ,|,,„ ,!„,„ 
t.yj, eentaineR du dividende. 

Pour trouver ce chiffre dei cenUine» <lu <|iiotient, il ^illit 
évidemment, de diviser les 867 centaines du dividen.le par lo* 
235 unités du diviseur. Opirotion qui peut . o faire en vertu 
du 2» cas de la division. 

Cette opération donne le chiffre exact du quotient ou un 
chiffre trop fort. Pour s'en assurer, on effectue le pro.hiit 
qui doit pouvoir se .Hou.,traire des centaines .lu .iividen.le. 
Dans le cas contraire, on diminue le quotient pmjfn'Mivemeut 
de une unité jusqu'à ce que le produit soit égal ou inférieur 
au dividende. 



8C750 
70500 



I 235 



16250 
14100 

2150 
2115 

33 



Le reste 16250 contient le produit 
du diviseur par les dizaines et 
unités du quotient. Or, le produit 
du diviseur par le.i dizaines du 
quotient étant un nombre exact do 
dizaines, ne peut se trouver que 
dans les 1625 dizaines du nouveau 
dividende. Pour trouver ce chiffre, 
il suffit de diviser les 1625 dizuines 
par 233, ce qui .lonne le chiffre exact des diz lines du quotient 
ou un chiffre trop fort. On s'assure, par le procédé cité plus 
haut, de l'exactitude de ce chiffre. 

On trouve ainsi un nouveau reste ou dividende partiel 2150 
qui ne renferme plus que le produit du divi -ur par les unités 
du quotient. Cette dernière opération se fait par les procé lés 
du 2'' cas. 

D'où Règle — Pour diviser deux nombres entiers l'un par 
l autre, on écrit le diviseur à droite du divùUndc. dont on U 
Sépare par un traU vertical et fon sotdiyne U diviseur pour 
U aiparer du qv/itieni que l'on ivrit «n dessous. 



— 18 — 

Otla fait, on tipare par un point, sur la gaw*t du divi- 
dend*, aiUant de chiffra qu'il y «n a dam U divueur <m un 
dêplui.tiU nombre rimltnnt eel plue petit que U dtviHwr ; 
M qui donne U premier dividende p^iHiel que l'o^J^"^ 
par U divitewr : on oUirnt «in»» le premier einjfre du 
quotient et Von êouetraU U produU du dividende partiel. 

A la droiU du reeU ainei obtenu, on ierit U ehiffre luxvant 
d« vidmde, ce qui donne un eecoiul div%d»nde paHiel lur 
lequel on opire comme «w U premier, et ainei '«« «^ 
jtt*9tt'd ce que l'on aU abaieeé tueoeeiivement tou» U» ehxffret 
du dividende. . , , i 

U iuite d» tons 1m chiffrai obtenus au quotient forme le 

quotient ehercbé, 

6L Le produit du diviseur par les unité* du quotient peut 
être égal au dernier dividende paHiel ou lui être intérieur. 

Dans le premier cas. U division te fait exactement sans 
laisser de reste ; dan. le second cas. la division laisse un 

'"ou peut donc écrire, d'une façon générale, en appelant D 
le dividende, d le diviseur, Q le quotient et B le reste : 

formuU génirnU. dans laquelle R p«ut être ég*l ou ilifférent 
de «éro, mais toujours plu* petit que d. 

aa S'il arrive qu'après avoir abaissé un chiffre du divi- 
dende h. la suite du reste, on obtienne un dividende partiel 
moindre que le diviseur, on écrit au quotient ; on abaisse le 
chiffre suivant du dividende à la droite du dividende partiel 
précédent et l'on continue l'opération avec le nouveau divi- 
dende partiel. 

53 Théorème I.-flan» toute division, ei on augmente 
ou dLinue U divvlende «an» toucher au diviseur. U quotumt 
devient plus grand ou plus petit. 

En effet, le nombre à partager étant devenu plus grand ou 
plus petit, ihocune des parties exprimées par le quotient sera 
devenue plus grande ou plus petite. 



M Thé«r*me II.— Dam touu itivition, tt on augrmnU 
ou JminiM U diviieur mn» touchtr au divitknde. U 
guotient tUvI-nt plu» pttil ou plu» f/rund. 

En effet, le nombre Je partie* qae l'un doit fair* devenant 
plu» grand ou plut petit, cliaonne de» partie» deviendra plu» 
petite ou pin» grande 

66. 1h4orèmeia.-i:« quotUnt <U deux nombre» ne 
ehangf. pa» n on multiplie ou li on divite à la foi» le divi- 
fUnde et le divieeur par un mène nombre. 

Soient A le dividende, B le divi»eur et Q le quotient. 

D'aprè» lu déBnition de la divi»ion et la formnie générale 
(61), on peut écrire A = B x Q. 

Multiplion» le» deux nombres de cette égalité par on 
nombre quelconque m, il vient : 

AXTO = BxQxni ou 

Ax m — BxmXQ 

Et on voit que le quotient Q n'a pas changé. 

Autrement Ru multipliant par m le dividende sani 
toucher au diviseur, on ren.I le quotient m foi plus grand 
(58) ; en multipliant le diviseur par r- «ans toucher au divi- 
dende, on rend le quotient n. fois plus petit ; donc le quotient 
ayant été rendu m fois plu» grand, puis m fois plus petit, n'a 
pas changé de valeur. 

68. lh«orômeIV.— Si on midtiplia ou qu'on divise U 
dividemlepar un nombre, U quotient tt le reaU (»'H y en a) 
sont viultiplifs par ce nombre. 

Soit D - fi Q + R 
Multiplions les deux membres par un nombre m, il vient : 
D»?i-((<Q + R)TO 
et en vertu de (43) Dm^ d<i x m + Rm ou 

D m - (/ X Q.„i -1- K m c. q f. d. 

57. Théorème V.~Si on miUtiplie ou qu'on divise A la 

fois le dividende tt le diviseur par un mémx nomire, It 




— 80 — 

qw)tierU m change pas, mais le reste est mvltiplié par e» 

nombre. 

Soit D = dQ+R 

Dm = (dQ + B)m = (iQxm + Em 

et en vertu de (41) D r.i = dirt x Q |- R.m 

Ce qui démontce le théorème. 

58. Théorème VI.— On n'altère pas le reste de la division 
de devas nombres en supprimant dans le dividende un 
miUtiple exact du diviseur. 

Soit A = BQ + R (1) 
Supposons que A contienne un multiple m.B du diviseur B. 
Betranolions ce multiple des deux membres de l'égalité (1), il 
vient : ' 

A— mB = BQ + R — mB ou 
A-mB = B(Q — m)+R 

Ce qui démontre le théorème. 

59. Le théorème III permet de simplifier la division dans le 
cas où le dividende et le diviseur sont tous deux terminés par 
des zéros. 

fLègle.— Lorsque le dividende et le diviseur sont terminés 
par des zéros, on suprriine sur la droite de chacun d'eux le 
m^me nombre de zéros, autant (fue dans celui qui en a le 
moins, et l'on procède à l'opération sur les dettx nombres 
résultants. 

60. Preuvei de la dlTialon —La preuve de la division se 
fait en multipliant le diviseur par le quotient ou réciproque- 
ment et en ajoutant le reste au produit. Le résultat doit 
reproduire le dividende. 

ifota.— Nous retrouverons plus loin la preuve de la division 
par un nombre quelconque. 

802n8 Qitotient de deux nombres avec une approxi- 
mation donnée. 



— 21 — 

Lorsque deux nombres ne sont pas exactement divisibles 
lun par 1 autre, on appelle quotient approché de ces deux 
nombres, à moins de 2. p^s, le plus grand multiple de ?■ qui 
multiplié par le diviseur, donne un produit inférieur au divi- 
dende. 

1. Soit à c'irrcher le quotient de 453 par 23 à ïAit 
près (2. = „■„). 

D'après la définition, nous devons trouver le plus grand 
nombre de millièmes qui, multiplié par 23 reproduise un 
produit inférieur à 453. 

Soient X et (x+l) les deux nombres consécutifs de 
millièmes entre lesquels est compris le quotient cherché ■ on 
aura donc : 

m X 23 < 453 < ^^. X 23 

Le signe < se dit "plus petit ou égal ", 

En réduisant au même dénominateur : 
œ X 23 < 453000 < (œ + 1) 23 

Et, si nous considérons le quotient par défaut, nous pouvons 
écnre : a; X 23 = 453000 on 

«aooo 
j , ,. •* 23 cest-àdire 

trouver le quotient par défaut à une unité près de 453000 nar 
23 ou 19647, et alors ^ 

looo luw — iy,t)47 

Donc pour trouver le quotient de deux nombres & r^-^ près 

par exemple, on écrit trois zéros à la droite du dividende et 

on effectue la division des deux nombres ainsi modifiés On 

aura soin de rendre le quotient obtenu 1000 fois plus petit (53). 

11. Trouver le quotient de 453 par 23 à moins de t près. 
Nous devons trouver le plus grand nombre de fois % qui 



î-ftaW»Bi£Mt«»s»«ï'-*«**'-^ 



— 22 — 

multiplié par 23 donne un nombre inférieur à 453. Soient 
œet (x + 1) les deux nombres consécutifs de I entre lesquels 
Bit compris le quotient cherohé. On aura : 

UX23<453<»(a' + l)X23 

^^<453<'-^X23 

' 4,rx23<453x5<4(a! + l)X23 

3; X 23 < 453 X }<(.-»: + 1) X 23 et entin 

x<^<(x + l) 



ce qui veut dire 
qu'il faut chercher le quotient À une unité près de -/- ou de 
iîîi par 23 ; quotient qui est évidemment le même que celui 
de la partie entière de 564 par 23. Or, ce quotient est 24 à 
1 unité près. 
Donc a; = 24 et par suite 

S o 



CHAPITRE II. 
i t-DIVISÏ»IUTÉ DES NOHBKSa 



CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ. 

61. On appelle diviseur exact ou diviseur d'un nombre 
tout nombre qui le divise exactement. 

62 On appelle nombre premier absolu ou nombre 
premier tout nombre qui n'a d'autre diviseur que 'ui-même 
ou l'unité. 

63. La Recherche des caractères de divisibilité est basée 
sur les principes suivants : 

64. Principe I. — Tout nombre qui divise exactement 
deux ou plusieurs nombres divise exactement leur somme ou 
leur différence. 

Soient 2 nombres A et B exactement d. visibles par le 
nombre m. Je dis que (A ± B) est divisible par m. 
En effet, puisque m divise A et B, on peut écrire 



m ^ 
m ^ 



d'où 



A = mQ 
B = mÇj' 



Et ajoutant membre à membre, il vient : 

A + B = TOQ + mQ'=m(Q + Q') 
A + B_ 

— Q + Q' = nombre entier 



d'où 



De même 



m 
A-B 



m 



— Q — Q' = nombre entier 



Ce qui montre que A ± B 
m 



' nombre entier. 



— 24 — 

65. Principe II Tout nombre qui en divise un autre 

divise toux les multiples de cet autre. 
Si ({ divise A, je <iis qu'il divise i.^A. 

En effet, mA — A + A + A répété m fois 

divisant les 2 membres par d, il vient 

mA A + A + A+ 

d ~ d 

Or d divise A, donc d divtae la somme A + A + A 

c'est-à-dire m A. 

68. Trlnoipe III. — L^ reste de la division d'vn t<yut, 
compoié de deux partiet, par un nombre, est le même que 
celui de la partie qui n'est pas divisible par ce nombre. 

En effet, soit N = A -l- B 

et supposons que la partie A soit divisible par ci et que B ne 
le soit pas ; on aura : 

A = (iQ 

B = iZQ'-)-R d'où 

A-f B = ciQ-(-dQ'-f R = (i(Q-f Q')-(-R donc 
N = d (Q -)- Q') -)- R 
et l'on voit que le reste B de la division de N par d est le 
même que celui de la division de B par d. 

67. Théorème Tout nombre qui n'est pas premier 

admet un facteur premier. 

Soit N un nombre qui n'est pas premier, c'est-à-dire 
admettant d'autres facteur? que N et 1. 

Soit a le plus petit des diviseurs de J. Je dis que a est 
premier. 

En effet, si a n'est pas premier, il admet un diviseur qui 
nécessairemeiit sera plus petit que lui. Mais ce diviseur de 
a est aussi diviseur de N, ce qui est contre l'hypothèse, puisque 
nous avons supposé que a est le plus petit. Donc a est 
premier, 

68. Théorème. — La suite des nombres premiers est 
illimitée. 

Supposons qu'on ait découvert un certain nombre de 
nombres premiers, et soient 1, 2, 3, 5, 7, 11 et 13, ces 



— 25 — 

nombwB. Admettons pour un instant qu'il n'y ait pas 
d autres nombres premiers que ceux-là. En effectuant le 
produit P de ces différents facteurs il vient : 

P = 2X3 X 5X7X11X13 
Si (P + 1) est premier, c'est qu'il existe un nombre premier 
plus grand que 13 ; si (P + 1) n'est pas premier, il admet un 
facteur premier (67). 

Je dis que ce facteur premier est différent de ceux considérés 
dans le produit P. 

En effet, si ce facteur était parmi ceux- de P il diviserait à 
la tois (P + 1 ) et P et par suite leur différence (P + 1 _ P) 
cest^à-dire 1. ce qui e.st impossible ; donc le diviseur premier 
de (F + 1) est supérieur à 13, ce qu'il fallait démontrer. 

39. Pour former la table des nombres premiers, on écrit à 
la suite des deux no.nbres 1 et 2, la suite des nombres impairs 

i». S, 7, 9, 11, 13 etc. On supprime, dans cette suite, 

tous les facteurs de 3, ce qui se fait eu barrant tous les 
nombres de 3 en 3 à partir de 3 ; puis, à partir de 5, tous les 
nombres de 5 en 5 ; et ainsi de suite. Les nombres restants 
sont des nombres qui ne sont divisibles que par eux-mêmes 
ou 1 unité ; donc ils sont premiers. 

70. Théorie générale de la recherche des caractères 
de divisibilité des nombres quelconques par des 
oiviseuTs quelconques. 

Soit N un nombre quelconque et considérons qu'on ait 
partagé ce nombre, en allant de droite i, gauche, en tranches 
de m chiffres chacune, la tranche de gauche pouvant avoir 
1, A....(m- ) chiffres; et soient, toujoura en allant de 

droite à gauche. A, B, C, D ces tranches considérées 

comme autant de nombres isolés. 
Nous aurons : 
N = A H- B X lO™ + C X 102"' + D X lOa-n -(. n) 

représentant le nombre décomposé en tranches de m chiffres, 
inégalité (1) peut se mettre sous les formes suivantes : 



n i 



l.-'ii 



— 26 — 

1ère Forme. 

N - lO"- (B + C X 10"» + D + 10*" +....) + A 
Ajoutant et retraochant au 2° membre de (1) 

B + C + D+ il vient: 

(2) N = A + BX10"'+C X 10»"+DX10»n> + .... 
+ B-B + C-C + D-D + .... 

et alors : N - [B (lO" — 1) + C (10»"' - 1) + ] 

+ (A + B+C + ....) (2e Forme) 

L'égalité (2) peut s'écrire aussi : 

N - [B(10"' + 1) + C dO"" + 1) + D (10'"' + 1). . . .] 
+ (A -B + C-D +....) (3e Forme) 

7L 1ère Forme. 

N = lO"- (B + C X lO-n + D X 102™ ) + A 

La première partie est divisil^le par 10"' ou par un facteur 
de 10", donc : 

1° L» reste de la division d'un nombre par un diviseur 

quelconque de la m" puissance de la base, eU le me'ffie que 

que le reste que l'on obtient en divisant par ce diviseur la 

première tranche de m chiffres à (iroite. 

12. 2e Forme. 

N = [B (10™ — 1) + C (102"> - 1) + (D 103" _ 1) + _] ^ 

• (A + B + C + ....) 
La 1^"> partie du 2= membre est divisible par (10™ — 1) 
ou par un facteur de (10"' — 1). En eftet : 
(10" — 1) est divisible par (10"' — 1) donc 10" — (10" — 1)+". 
d'où multipliant par 10", il vient : 
102m = (lO-n _ 1 ) lOm 4. JQ" = (10" — 1) 10" + (10" — 1)+1 

et en6n 

102" — 1=(10" — 1) 10" + (10" — 1) divisible par (10"+1) 

De même 
IQSni =102n. X 10" ={10" — 1) 10" + (10" — 1) + 1 ) 10" 

10*" = (10" — 1) 102" 4. (lO-n _ 1) lOni + 10m 

10»" — (10" — 1) 102" + (10" — 1) 10" + (10" — 1) + 1 
d'où 10""— 1 = (10"— 1). 02'"+ (10" — 1) 10" + (10" — 1) 
nombre indivisible par (10" — 1) et ainsi de suite. Donc 



\i^- 



— 27 — 
2° Le reste, U la divUion dnn novibre par un divinur 

!!! r f, '««"?'"<«'"«<'« «fe i» base, diminuée de 
une umU.eet le même qm .elui que l'on obtUnt en divisant 

tTT * ''■""'''"'* ''" ' "'"'■ff'^» P«' « «iir-Meur. 
73. 8e Forme. 

N = [B(10"'-l) + C(10»^-l)+D(10>n. + i)+ 14. 
(A-B + C-D + ....) 

On démontrera comme ci-dessus (12 que la 1ère partie du 
2 membre est divisible par (10"> + 1), Donc : 

3° Le reste d^ la division dun nombre par un diviseur 
quelconque de la m' puissance de la b.u>e. augmentée de une 
umté est leme'me que celui que Ion obtient en divisant par 
ce facteur la différence entre fa somme des tranches de 
m cinjres de rangs impairs et lu somme ,ies tranches de 
m chiffres de rangs pairs. 

74. Théorème._/,« reste de la division par D d'un 
r^oduU de deux facteurs A X B est le m4,ne que celui de la 
dtvuion par D du produit des restes R X R' obtenus en 
aivimnt séparémeut A et B par D. 

Soient A = DQ+R' 

et B = DQ'+E" 
formons le produit A X B = (D Q + R'^ (D Q' + R") 

TV. , , „ =D''QQ'+DQR"+DQ'R'+R'R" 

Dou A2<B^D2QQ' + DQr + DQ'R' + R-R» 
D J5 

l^s restes obtenus dans les 2 membres de cette émlit* 
doivent être égaux. Or les 3 premiers termes du numérateur 
du 2-i membre sont divisibles par D ; donc le reste de A>1B 
sera le même que la partie R' R" par D (67) ^ 

Ce théorème sert de base à la preuve de la multiplication 
et de la division par un nombre quelconque. 

75. Dlvi8iblUtépari2._2'o„e nombre est divisibU par 
« lorsque son dernier chiffre de droite est un chiffre pair 

a) Application de la \o^ forme du théorème général 

2 est un diviseur de 10» (1*™ puissance de 10) 



I ■ r 



— 28 — 

Donc dans la rèjjle (71). m - 1 ; d'où 

Tout nombre est divisible par î lorsque la 1»" tranche de 
droite de 1 chiffre est divisible par 2 ; le reste que Ton obtient 
est le totme que celui de cette tranche de 1 chiffre par 2. 

b) Soit un nombre 254 = 25 X 10 + 4 

La 1»~ partie de la somme (25 x 10) est divisible par 2 ; 
donc le nombre lui-même sera divisible par 2 si l'antre partie 
de la somme l'est (principe l" ). 

Donc si le chiffre de droite est pair le nombre est divisible 
par 2. 

76. DivlaibiUté par i.-Tout nombre est diviaiUe par 5. 
lorsqu'il est terminé par un zéro ou an S. 

a) Application de la 1" forme de la théorie générale (71) 
5 est facteur de 10' ; donc m •■ 1 

Il faut donc que la tranche de droite de 1 chiffre soit 
divisible par 6. 

b) Soit un nombre 340 - 54 X 10 : divisible par 5 (prin- 
cipe 1). "^ ^'^ 

Soit 546 - 54 X 10 + 6 

Or 54 X 10 est divisible par 5 (principe I) Donc 54X10 + 5 
ou 545 sera divisible par 5 si la deuxième partie de la somme 
est divisible par 5 (principe II). 

77. Divisibilité par 4 ou 26.-Tout nombre est divisibU 
par i ou S6, lorsque le nombre formé par les deux derniers 
chiffres de droite est divisible par 4 ou S5. 

a) Application de la 1» forme. 

4 et 25 sont diviseurs de 10" ; donc m = 2 (71) 
Il faut donc que la tranche formée par les 2 chiff'res de 
droite soit divisible par 4 ou 25. 

b) Soit 636 - 6 X 100 + 36 

La le partie de la somme (G X 100) est divisible par 4. 

Donc le nombre sera divisible par 4, si la 2» partie de la 
somme est divisible. 

Soit 675 = 6 X 100 + 75 

6 X 100 est divisible par 25 ; donc 675 le sera si 75 est 
divisible par 25. 



— 29 — 

^rSoulJS st U nombre fornii par U, trou chiffre» de 
droite est divUiUe par 8 ou, US. 
Application de la 1» forme (71) 

8 et 125 «ont diviaeurs de 1000 ou 10' ; donc m - 3 

11 faut donc que la tranche formée par le. 3 chiffre, de 
droite soit divisible par 8 ou 125. 

78. Divl.iblUté par B.-Tout nombre est divisible par 9 
lornuc la ,om.^ de ees chiffres coneiMris comme Ziui 
simples est un nombre divisible par 9. 

») Application de la 2« forme (72) 

9 e.t diviseur de (10' - 1), donc m » 1 

Il faut donc que la somme des chiffres considérés comme 
unités simples soit divisible par i). 

b) Soit UD nombre 79452 = 2 + 50 + 400 + 9900 + 70000 
Or l-m9 + l 1 2-m.9 + 2 



10 = m9 + l 

100 = to9 + 1 

1000 - Ml 9 + 1 

10000 = m9 + l 



50=m9 + 5 
d'où 400 = m 9 + 4 
9000 = m9 + 9 
700.» = m 9 -t 7 et ajoutant il vient 



79452 = m9+ (2 + 5 + 4 + 9 + 7) 
Or : m.9 est divisible par 9 ; donc 79452 sera divisible par 9 
s. a2.i. partie (2 + 5 + 4 + 9 + 7) de la somme est divLbIe 
par 9. Ce qui démontre la règle. 

80. Preuve de la multiplication par 9. 
Application du N" 74- 

Vérifier la multiplication 7()5:j x 427 = 3267831 
Reste de 3267831 par 9 = 3 ^ 

B":;:ttir7 p^%':4' } ^'^^'^'^^'^'^"""■'' %*p»^ 

81. Preuve de la division par 9. 
Vérifier 3267831 -=- 7653 =«= 427 
Nous savons que D = rf x Q donc 

par » de la multiplication. 



— 80 — 



83. Le m£me esleal «'applique à nn divinear quelconque. 
88 Divisibilité par 8 —Tout nombre eut ilivinible par 3, 

lonqut la mmme de «M ohiffrt» conivUré» comm» unil'iê 
êimples eêt diviiibl» par S. 

84. DivisibilM par U — Tout nombre est ilittiiihle /tar 11, 
lonqiu l'exci» de la somme îles chiffres de rangs impairs sur 
la somm* des chiffres île rangs pa,irs est ou, un nombre 
divisible par 11. 

a; Application de la 3* forme de la théorie générale (,18). 
11 est un diviseur de (10' + 1) donc m= 1. 
V) Soit le nombre 79541 - 1 + 40 + 600 + 9000 + 700DO 



Or 



1-TO.ll + l 

10-mll-l 

lOO-mll+1 

1000-mll-l 

10000 -m 11 + 1 



d'où 



l~m.ll + l 

40 = m.ll-4 

600- mil + 5 

9000-mll-9 

10000 -m 11 + 7 



et ajoutant, il 
vient : 

79541 =m.ll + (1 - 4 + 5 - 9 + 7) 
Or (m.ll) est divisible par 11, donc 79541 le sera si la 
2* partie de la somme (1 — 4 + 6—9 + 7) est divisible par 11. 
Ce qui démontre la règle. 

8& Divisibilité par 7 et 13 — Toui nombre est divisible 
par 7 ou. IJ lorsque l'exeis de la somme des tranches de 
3 chiffres de rangs impairs sur ta somme des tranches de 
3 chiffres de rangs pairs est divisiUe par 7 ou, 13. 

a) Application de la 3° forme. 

7 et 13 sont des diviseurs de (10' + 1) ; donc m = 3 

b) Soit le nombre . 

/ 79645324 = 324 + 645 x 1000 + 71) X lOOOOO 
Or l=m7 + l^ 324-m7 + 324 

1000=«m7-lld'où 64.5000 = m 7 — 645 
1000000 = mi7 + lJ 79000000 = m7+ 79 ajoutant, il 

vient : 

-643 + 79) 



79646324 = m7 + (324- 
Or, la première partie de la somme est divisible pur 7. 



-81 — 

Donc, le nombre lui-mâme aéra divi.ible pir 7 li U 
»"<■ partie l'e^t, oe qui H«montre l'énonW. 

86 Le, caractères de divi.ibilité perm.Htent de décoropcer 
un nombre en nés facteurs premiers. 

87. Les caractères de divi.iollité seront e.nployé. 

SrnJr» r, "'"?"«'»*"■"'' ''«" f'octions; il, nous 
permettent de découvrir aisément par quels nombre, le. 
2 termes d u..e fraction peuvent être diviiibles à la foi.. 

§ 2 -Théorie de la recherche du plus grand 
commun diviseur 

88. U Théorie de la recherche do P. 0, C. D. est ba.ee sur 
^r'^^'P^'^fpo» énoncés dan. 1« recherche des caractère, 
de divisibilité. 

1er Prlaoipe—Tout nombre qui en divise deux autre, 
divise leur .oirirae ou leur différence. 

2o Prlnolpe.-Tout nombre qui en diviw un auti-e, divise 
les multiples de cet autre. 

89. Thtforle générale. 

Soient A et B deux nombres dont il faut oheroher le d ir 

c. d. r- 8- 

Si B divise A ce sera le p. g. c d. cheréhé ; opérons donc 
la division de A par B ; soit Q le quotient et R le reste. On 
a donc 

A-BQ+R 

B n'est donc pa.i donc pas le p. g. c. d. 

Je dis que le p. g. c. d. entre A et B est le même que celui 
entre B et R. En effet, tout diviseur ,1e A et b est diviseur 
de A et BQ (principe II) ; et tout Jiviseur de A et BO est 

dlréT'" ''* '*"■■ '^'^"'""'" ^~^'^ ^P""='P« I^ '='^"-^- 

Di visons donc E par R et soit 

B = RQ' + R- 

Tout diviseur .le B et R rat diviseur de B et RO' donc 
diviseur de : -RQ' c'est-à-dire de R' et ai.isi de suite. 



I 



if 



— as- 

On obtient donc U loite dei opérationt snivtntci : 
A-BQ+R 
B-BQ'+R- 
R-RQ"+R' 

R — R Q'" j j{H jiyj„„j exoctement U". Je die qne 
R' est le plu* grand aommun diviienr cherché. 

En effet, le p. g. e. d. doit divixer A et B, donc il et fi Q, 
donc auui A — B Q - B ; divinant B et R, il diviee B et R Q', 
donc B — R Q .. R' ; Divisant B et R' il divise R et R'Q", 
donc R - RQ" = R". 

D'un autre eût*, R" divisant B' et R " divise (R'Q " + R") =R ; 
divisant R et R', il divise R Q' + R', c'est-à-dire B ; et divisant 
B et R, il divise (B Q -I- R) c'est-à-dire A. 

Donc R", divisant A e$ B, ne peut Atre plus grand que le 
plus grand commua diviseur entre ces deux nombres. 

R" ne pouvant être, ni plus petit, ni plus grand que le plus 
grand commun diviseur, lui est égal. 

90. Règle — Pour tmiiver le p. g c.d entre deux nombres, 
on divUe U plus grand par le plus petit ; ai cette ope, .'.ion 
ne donne pas de reste, l» plus petit nombre est le p. y. e d. 
cherché. Dans le ccu contraire, on divise le plus petit 
nombre par le !"• reste, le J"" reste par le second, et ainsi de 
suite jusqu'à ce que la division se fasse exactement. Le . 
dernier diviseur est le p. g. c. d. cherché. 

Ces opérations sont établies comme i-desson.s. 

Exemple : à rechercher le p. g. o. d. entre 1674 et 192 





8 


6 


19 


1574 
38 


192 
2 


38 



2 



2 est le p. g. c. d. cherché. 

81. Simplifloationa.— 1° On peut, à un moment quel- 
conque de l'opération, retrancher du plus grand nombre un 
multiple exact du plus petit. (fi8). 



— 83 — 

f«ot.ur premier «vec le diviVur. ° 

En effet. I. facteur éUot premier .veo l'un de, .leu» 



A=BQ+R 
B=RQ'+R' 
B = R'Q"+ R" 



2R<B 
2R^R 
2R'<R' 



[Avec les condition»:! 
„ . (1) 

«" » = R» 1 Qn + R„ 



2Rn<R„ 



iii2i!«:x2irx..2R„ 



ou 



2nB„<B(2) 0,1e plu, grand nombre d'opérations que 
lon^ut avo.r à faire lors de la recherche du p . c d e.t 
donné lorsqu'on arrive à un re-te R - w„ ^ »■,"•''; «'« 

nombres soutpremiers entre elT^rfî^T^eSr^i^t^ 

éleveTa'poiToreniTr' '" '" T'"" ' "^"'"•« '^^-^ 
Detit „f , r . "° ""'"'"■« immédiatement plus 

eCC '" '"""^ ^"P*"-- '^•' -bre des opération'^ à 



I 



lU 



. i 



— 34 — 

93. Théorème.— rou< nombre qui en divise deux autn» 
divise leur P. 0. C. D. 

Soit m un nombre divisant A et B et soit D leur p. g. c. d. 
Je dis que m divise D. 

En effet, la recherche du p. g. C. d. donne les égalités 
suivantes : A=B Q + R "j 

B=RQ'+D j. Qj, ^^ divisant A et B, divise 

R= D Q" J A et B Q donc A — B Q c'est-à-dire 

B • divisant B et R, il divise B et R Q' donc B - B Q' c'est-à- 

,.' r. C. q. f.d. 

dire D. ' 

94 Dfiix noiubies sont dits premiers entre eux lorsqu'ils 

ont punr plus ;;iuii 1 commun diviseur l'uuité. 

95. Th-oriS aa.—Tout nombre qui divise an produit de 
deux faclea,-< A >i B et qui est premier aveu Vun d'eux A, 
divise L'autre B. , 

Soit D un nombre divisant le produit A X B et premier 
avec A. Je dis qu'il divise B. 

En effet D et A sont premiers entre eux, ils ont donc pour 
p. g. c. d. l'unité et ou a : 



A=DQ+R 
D=RQ'+R' 



Id'où multi- 
pliant par 
B, il vient 



B„ = B„ + ,Q„ + 2+l 



AB=DQB-1-RB/ 
DB=BQB-|-R'B 

R„B=B„ + iQ„ + 2B-fB 

Or D divi.se A B par hypothèse et D X QB qui est un 
multiple de D. Donc, en vertu de (92), il divise leur p g. c. 
d.B. ^■'^■^■'^■ 

96. Théorème. -ï'oiti nombre premier P qui divise un 
prvduU A. B.C. D divise Vun des facteurs de ce produit. 

En etr.!t, si P ne divise p^is A, par exemple, c'est qu'il .est 
prender avec A, et alors, il divise l'autre facteur P X C X D ; 
s'il ne divise pas B, il divise l'autre facteur C X D du produit 
B X C X D ; entin, divisant le produit C X D, il doit aiviser 
l'un.des facteurs C ou D (95). 



j^; 



— 35 — 

cest detennmer es „„.„bres premiers qui divisent iHombre 
proposé et comb-n a. f„i. .hacaa deux y eatre comme 

On opère cette c .eompo.ition en divisant le nombre donné 
autant de fo.s qu.i ,.t p,.,:ble par chacun des nombres 
prem.ers. jusqu à ce que l'on arrive à un dernier quotient oui 
soit lui-même un nombre premier. 



Les facteurs premiers sont donc : 
2, 3, 5, 7. 

2 y entre 2 fois 
3" " 3 " 
5 " " 1 " 
7" " 1 " 



de 



Exemple : 1260 2 

630 2 

315 3 

105 3 

35 5 

w 

et alors 1260=22 X 3^ x 5 X 7 

88 Théorème.- 6'« no.,^re ne peut être décomposé en 

ses facteurs premiers que d'une seule manière. 

Supposons qu'on puisse décomposer un nombre P 

2 manières différentes et soient 
P=ax bXcxd et P = a'x b'Xc'xd- 
On a identiquement a X 6 X c X ci = a'X 6'X c'X <i' 
Mais alors a divisant « X 6 X c X d doit diviser 

2« membre a'X 6'X c'x d; donc il doit diviser l'un 

facteurs (96). 

Or, comme tous les facteurs sont premiers, il faut que l'm 
d eux soit égal à a 
Soit a' = a; alors il vient 

bXc Xd = b'xc-Xd' 
On prouverait de même que b' doit être = 6 

c =e 

d' " " =d 
99. Théorème -Un nombre divisible par plusieurs 
autres premiers entre eux 2 à 3, est divisible par leur 

jpTOQi'Wtt, 

Soit P un nombre divisible par plusieurs autres abc 
premiers entre eux. ' ' 



le 
des 



— sa- 



it : 



I f 



! nu 



= Q" 



P étant divisible par a donne P » a Q (1) en appelant Q 
le quotient. 

Or 6 divise P donc aussi son égal a Q ; et, comme il est 
premier avec a il doit diviser Q et l'on a : Q = 6 Q' d'où 
P = a Q " a 6 Q' en remplaçant Q par sa valeur. 

De même c divise P donc aussi abQ' et, comme il est 
premier avec o et fc, et doit diviser Q' et l'on a : Q'=cQ" 
D'où enfin 

P = a6Q'=a6c X Q" et 
P 
abc 

ce (|ui montre que (i X 6 X c divise P 
100 lieoherche du p. g. c. d. entre plusieurs nombres. 
Soient A, ïi, C, E les nombres proposés. 
Soit U le 11. j;. c. d. entre A et B 
D' " " DetC 

D D'etE 

Je dis que D" est le p. g. c. d clierché. 
En effet, le p, g. c. d. cherclu' divise A et B, donc aussi leur 
p. g. c. d. D ; divisant D et C, il divi.serii aussi leur p. g. c d. 
D' et eiitin étant diviseur de D' et E il est diviseur de leur 
p. g. c. d. D". 

^ = nombre entier (1) 

p. g. c d. 

D'un antre côté D" divise E et D'. Or D' est le p. g. c. 
d. entre D et C, donc D" divise D et C 

D" ilivisunt D divise A et B puisi,'.ic D est leur p. g. c. d. 

Donc puisque D" divise A, B, C et E, il doit diviser leur 
p. g. c. d. et on peut donc écrire : 

• ^°' — 1-= nombre entier y2) 

Les égalités (1) et (2) exigent nécessairement que 

I)"= p g. c. d. D'où 

Règle. — J'our trouver le p. g. c. d entre plusieurs nombres, 
on cherche le p. g. c <l entre les 2 plus grands, puis le p. g, c. 
d. entre h p g c. d. trouvé et le 3' nombre, et ainsi de suite. 
Le dernier p. g. c. d, est le p g. c. d. clierché. 




— 37 — 

MO = 2-' X 5 X 7 
12(iO = 2-'X32 X5 X7 
2100= 2^' x:J X52X7 



I* P- g. c. d. est donc 2-' X 5 X 7 = 140 

§ 3. -Du PLUS l'ETlT COMMUN MULTIPLE 

ex,.cte,„.nt par chacun ,les no.nl.re. ,lonnés' '"'"^'^ 

dans le produit avec lexpo.ant le plus élevé 

Il est évident que le no„,l„.e ,,i„.i ionnéest multinle de 

pieniieis de cluicun d'eux ; de plm il p^t u ^i 
.""-tiple; c. on ne pou.'ait su'p ,•:'„; „'l":/;:: 

faeteu,..s sans qu'il cessât dè^/divis pa" "' lÎ J 

nombres qu, en contient le plus de cette espèce ( 1) 
J^^ZX^'^"' ■''= l'o-W'té de la diviMion dW. monùm» par ua 



'r~] 



If 



— 38 — 






iW i 



\.ih 



i;i i 



Soit & chercher le p. p. o. m. entre 315, 60, 40, 36. 



315 

106 

35 

7 

1 



3 60 
3 30 
5 15 
7 5 
1 



315 = 3SX5X7 
60 = 2* X 3 X 5 
40 = 2' X 5 
26 = 2* X 32 



Le p. p. c. m. = 3» X 23 X 5 X 7 = 2520. 
104. Eeoherohe du p p o. m. de 2 nombres à l'aide 
du p g. o. d. 

te p. p. c. m. de 2 nombres est égal au quotient dij, produit 
de ces deux nombres par leur p. g. c. d. 

Soient A et B deux nombres et D leur p. g. c. d. 
Ona A-DQ ~ 



D-S^' 1 Q et Q' étant premiers entre eux. 

B— u y j 



Soient 



un 'multiple de A et 
" B 



A m 

B m' " " B on aura 

ATO = mDQ et BTO'=m'DQ' 

Pour que le multiple soit commun aux deux nombres, il 

fuut que 

mDQ=m'nQ' (1) ou 

TOQ=m'Q' 
Or, Q divise m Q, donc aussi m'Q' ; et, comme il est premier 
avec Q, il doit diviser m' 

Donc m'=Q K K étant le quotient de m' par Q. 
Remplaçant m' par sa valeur dans (1), il vient : 

mDQ = QKDy' (2) valeur d'un 

multiple quelconque de A et B qui devient en y remplaçant 

A B 
Q et Q' par leurs valeurs p *' r; 



QKDQ=-^XKXDxg 



AB 
"D 



XK (3) 



Le commun multiple (3) deviend.-a le plus petit commun 
multiple en donnant à K la plus petite valeur, c'est-à-dire 1, 

et alors (3) devient 

AB 
p. p. c. m. = 

Ce qui démontre l'énoncé 



U 



li! ,• 



l"r 



CHAPITRE in. 
DES FRACTIONS. 

§ 1.— FllACTlONS OIIDINAIRES. 
A) Nuf.î'SnATION DES FltACTIOXS OHDINAinE.S, 
105. On appelle fraction ordinaire .m si,„ple,.,nnt fmction 
une o„ p,usienr. parties ,1e l„„ité .livisée e>, partie, éftales. 

106 On représente une fm.ti.m à VniA, de .le„x non.l.res 
écrits 1 un en desson, .le l'autre et séparé, par „n trait 
horuontal. Le nou„,re écrit on dessous Lli,,.' en cou.biê, 
de parties on a divisé l'unité : il s'appelle le dénominateur 
le nombre écrit au-dessus iu,ii,,ue couil.ieu on a pris de' 
parties : il s'appelle le numérateur. 

Ces deux nombres s'appellent les termes ,lo la fraction 
Ainsi, par exemple. ,lans '' on a divisé l'unité en 7 parties et 
on a pris 3 de ces parties 

107. On énonce une fraction <,rdin.»re en énonçiut d'abord 
e numérateur puis le déno..inateur que l'on fait suivre de la 
terminaison leme, à l'exception de 

1 • ,. 

^ qui s énonce un :lemi 

j " " un tiers 

1 „ 

j " un quart 

Dans r.xemple ci-d.,.ssus la fractio.. .,'énonce tiok-mptihyie 

108 II suit <le la nature même de., f.actious que : 

r Ue 2 fractions qui ont le mè.ne .léuo.ninateur, celle-là 

est U |,lus grande qui a le plu:, gra,id namérateiir ; 

2° De 2 fractions ,,ui ont le mêuie numérateur, la plu.s 

grande est celle qui a le plus petit dén,.,ui„ateiir. 

109. Toute expression, dans laquelle ie numérateur est plus 

petit que le dénominateur, esc plus petite que, l'unité et se 

nomme fraction ordinaire. 



-40- 

Toute expression, dans laquelle le numérateur est plus 
grand que le dénominateur, est plus grande que l'unité et se 
nomme nombre firaoUonnaire. Ce nombre contient des 
unités entières. 

110. Règle.— Pour extraire les unités entiirea contenues 
dans un nombre fractionnaire, il suffit de diviser le 
numérateur par le dénominateur; s'il y a un reste, ce 
dernier s'indique sous forme de fraction, ayant pour 
numérateur le reste ei pour dénominateur le diviseur. 



Exemple : ■5=9 



et 



-=4'- 



111. Béoiproquement pour convertir des quantités 
entières accompagtiéea de fractions en nombre fractionnaire, 
on multiplie la partie entière par le dénominateur de la 
f. action, on ajoute à ce produit, le numérateur et l'on donne 
au résultat -le dénominateur de la fraction. 

Exemple: 5^ = 5 + 5 Or 5 unités valent ^4^= f 



Donc 






lia Théorème l.— Une fraction proprement dite devient 
plus grande ou plus petite quand on augmente ou qu'on 
diminue les deux termes d'un m.ême nombre. 

Si, aux 2 termes de la fraction g, on ajoute un même 

nombre 3, par exemple, on obtient la fraction .^ +_?. _ " 

8 + 3 ~ li 



Comparer les deux 
la 



8 5 

Je dis que jj est plus grande que g . 

fractions g et ■^, c'est les comparer à l'unité. Or à 

, 6 , ' 3 u 

fraction 5 il manque g pour faire 1 unité et à la fraction n 

3 
il manque jj pour faire 1 unité. 

3 3 

Or JJ est plus petit que g (108, 2°). 

3 
Il s'ensuit que la fraction jj se rapproche plus de l'unité 

que la fraction g. Donc jj est plus grand que g, car une 



-41-- 
fraction est d'autant plus grande quelle se rapproche plu, de 

On démontrerait de mê.„e que ? est plus grand que 



0-8 - 

8-3 6 • 



Soit en effet, la fraction *. Si je multiplie le numérateur 

par 3, par exemple, j'obtiens ■» x 3 _ 12 

5 5 

Je dis que j est 3 fois plus grand que 1 

En effet, de deux fractions qui ont le même dénominateur 
Ja^plu^s^ grande est celle qui a le plus grand numérîeur 

De même, si je divise le dénominateur de la fraction l par 
2 j'obtiens ? qui est deux fois plus petite que ^^ (108 !^) 

Même démonstration que 113 



(1; 



1° Soit le facteur " = ? 

i , 

q étant entier ou fractionnaire 



D'où: 



- 42 _ 

Mnltiplions les deux membres par m il vient : 
a m " 6 m 7 d'où : 

f^ - î (2> De (1) et (2) on tire 






I ' 



m 



M 



2° Soit j,^9 9 étant entier on fractionnaire et 

supposons que A — a m et B « i m ; il vient : 

H~~ïsr~î (1) *l'<Ji'> am = bniq = b(}.m 
et divisant les 2 membres par m il vient : 



i = hq d'où 



--q (2) 



De (1) et (2) on tire 



bm '^b 

116 Pour effectuer les différentes opérations sur les 
fractions, et spécialement cei qui concerne l'adilition, la 
soustraction et l'appréciation de leurs grandeurs relatives, il 
faut pouvoir, en vertu de la définition des nombres et de la 
numération, comparer des quantités de même espèce. On est 
ainsi amené à chercher à ramener toutes les fractions, sur 
lesquelles on doit opérer, au même dénominateur, c'est-à-dire 
à la même espèce. 

117. La réduction des fractions au même dénominate-- est 
donc une opération qui a pour but de changer les fractions 
proposées en d'autres fractions équivalentes et qui aient toutes 
v.n dénominateur commun. 

118. Règle I. — Pour réduire deux fractions au même 

dénominateur, on multiplie le» ê termes de la 1"" par le 

dénominateur de la 2"''' et les 2 termes de la 2^'' par le 

dénominateur de la 1"^ . 
3 4 
Soient 3 et - à réduire au même dénominateur. 

La fraction j- est équivalente à-g-^ = ^ 
La traction - =— s — ; ,- 

o 5 X .1 lo 

119. Sègle II Pour réduire un nomhre quelconque de 

fractiona au mêmx dénominateur, on ntiltlplie les 2 termes 



-43_. 

de chacune d'eUe» par le produ.it des dénominatean de» 
autres. 



Soit à réduire 5. | ' et ? 

1X3X4X» 2x2X4x 6 
2X3X4X6' 3x2xTx«' 
72 m 
144 ' lu' 

120. Règle m. 



3X2X3X6 
4 X 2 X 3 X o ' 

lOM 

144 



i» X 2 X 3 X 4 
8X2X3X4 



Ht 



128 
144 



-Pour réluire plusieurs fractions au 
même dénominateur, on forme le plus petit commun 
multiple de tous les dénominateurs ; puis on multiplia les 
S termes de chaque fraction par le quotient obtenu en 
divisant le p. p. c. m. par le dénominateur de la fracllo,. 
considérée. 

Soit à réduire au inênie dénominateur 
^. 1. 1 et 1^ 

3» 4U 60 313 



36 = 2' X 3' 
40 = 2' X 6 
60 = 22 X 3 X g 
315-32 X 5 X 7 

D'où 



P. p. c. m. = 2520 

divisé par : 



36-2x5x7 
40 = 32 X 5 
60 = 2x3x7 
315 = 2' 



5 

36' 

9_ 

40' 

2 

80 " 
17 
~315 " 



-1x2 



/ /'. r. m, 

9 « 13 > 3" 

/'. p. '■. m. 

7 X 2 X 3 X 



p. II. 1: 
17 X 2' 



2r>(l 
'•ïsâi 

S67 
"2520 

2fl4 
'2520 



130 
'2520 



p. p. r.m. 

ISa. Simplifloation des fractions. 

Simplifier une fraction, c'est la transfoimer en une autre 
équivalente, mais dont les t«imes soient moins grands, afin de 
se faire une idée plus nette de la fraction d'unité qu'elle 
représente. 

122. Règle—Pour simplifier une fr<iction. on divise les 
S terme» par un mé.ne nombre qui les divise exactement ; on 
opère de la même façon sur le résultat de celte opération 



— 44 — 

juêqu'à et qvs Ut S terme» n'aient plus de ilivUeur 
commun. 

1223. Les eantotères de divisibilité nous permettent de 
découvrir la suite des nombres par lesquel» il fikut diviser les 
2 termes de la fraction ; la théorie de la recherche du p. f(. e. d. 
nom permet de trouver directement le nombre le plus 
grand par lequel il faut diviser les 2 termes de la fraction 
pour la transformer en une fraction ^(|iiivu!ente à termes 
premiers entre eux. 

124. Une fraction, ainsi simplifiée, est dite réluUi' à sa 
jÀua êimple expreasion et la fraction ainsi obtenue est appelée 
fraction irrédtuitiUe. 

Soit la fraction -^ . Si je cherche le p. g. c. d entre 1 29> 
et 740, je trouve 185. Divisant les £ termes par 18,'j, j'obtiens 
740 : 18a 4 fractiou irréductillo, 

1296 : lus 7 

125. Théorime. — Toute fraction irréductihte a ses 
S ternua premiers entre eux. 

En effet, ai les 2 termes ne sont premiers entre eux, ils ont 
un factenr commun et la fraction est alors réductible, ce qui 
est contre l'hypothèse. 

126. Héoiproquement, toute fraction dont les termes 
sont premiers entre eux est irréductible. 

Soit T une telle fraction et scit ^ une fraction équivalente. 

a c j, , ttf^ 

On a alors (,"5 dou c— ^ 

Or b est premier avec a, donc 6 divise ({ et on a d = bq 

et alors . c = f!i2-a(/ 



Donc - = "M c'est-à-dire que les 2 termes de la secomle 

d bq 

fraction doivent être le même multiple des termes homologues 
de la l'"". Donc celle-ci ne peut être réiluite en termes plus 
simples. 

127 Ihéorème. — Deux frictions irréductibles égales ont 
Uurs termes homologues identiqv.ea. 



-45 — 



•Soit U fmetion irré luctible ,-, - ^ 



Un en déduit 



6 = 4 / ^^ 



Moi» on a, d'un HUtre côté, la fraction irréductible s =» - 

Doù combinant (1) et (2) il vient : e 

Reniplii^'unt a et il pur leur valeur, il vient : 

cij xbq' = cb d'où q<j' = \ 

Ce <|ui montre i|He </ =, if^ 1 et p«r suite 

« = <•• et 6 = d c. q. f. d. 

li) Calcul des fractions oudinaires. 

I.— Addition des kkactioxs ordinaikes. 

128. Hègle— PoHr additionner S ou pluaieura fractionê 
ordinaires, on les réduit au m'-me dénominateur, H eUea n« 
le nont pas à'jà ; puis, on fait la somme de tous les numé- 
rateurs, et on donne, comme dénominateur à cette somme, le 
dénominateur commun. 



i")so^tl + UUt-^^H^ 






1 2 3 ii 

^°' 2+3 + 4 + 6 Réduisons au même dénominateur 
par la règle III il rient : 

•2 + 3 + 4 + 8 - 1 2 + 12 + Ï2 + Î2 = î:> = 2 i2 -■- 2i 

129. Pour additionner entre eux des nombres entiers 
accompagnés de fractions, on fait la somme de toutes les 
fractions ; on ta extrait les entiers, s'il y a lieu, que l'on 
ajoute à la somme des parties entières que l'on fait séparé- 
ment. 



— 46- 



Soit 2^ + 3j + Oj + i 

, 4 .2 » 4Jit4»f4<UM. 



lus 



.14^. 



4 -r 5 -^ » "^ « ~ *' , 

2 + H + 6 - n Donc 11 + 835 - •'♦ï, 
0„ peut encore convertir le« nombn.. factionnaire, en 
£r«tioL et faire l'a-ldition par le procède ordmau.. 

II._SOUmACnON DES FHACriONS OBDtNAIREa 

130 Rè«le-P'>ur samtraire un« fn,.tion d'une aut^ 

U plus ;)««i« flui«eV.t(cur .(u p'u» £/'■«»'' 
rette ie (ifinoiiuiiu'*»»- commun. 

la 7 it:! _ 1 = ,^ 
1°) Soit si — »i ~ »> " " 

commence par sourt.aire le. tr ^^ ^^ ,^ 

,asou,tractionde,no„>bresenters en te ^^ ^^^p^^^^ ^^_ 

""""'r™: rp.r; tit^rr e lier e. p.. grande .ue 
:riri:^;U 'e P.-^ «rand nombre ent.e. 



or 



' 16 IJ 



et alors 



92-« _ „1I 



" ^^nire les 2 nombres fractionnaires en 

plus long. 

lII._MULTirLICATI0N DES FRACTIONS. 

,«, «è«le-Pour mu«ipl«r une ^r^^Hon yar un 



-47- 

•nn» tourhrr au lUnomimiteur ; ou bien, on divite U 
déuomintileur «un» Inmiher «u numèratrar. 

Cette règle t»t lu con(^(|UBnce iininédiate du théorème II 
•ur la nuiiiénition di» ftaction» ordinaire». 

laa Hègle.-7',<ur mutliplùr un nombre entier par une 
fraction, on nuUtiplie Initier par le numérateur ,te la 
fraction et l'on Jovnc au prmluit U <lénominateur de /.e 
fraction. 

Soit à multiplier 4 X | . Il faut, en vertu de la définition 
de la multipliction, tonner un pro.Uiit qui soit composé 
avec le ii.iiltiplicunle cuiiniio le multiplicateur a été formé 
avec l'unité. 

Or le nmltipliciteur jj u été formé en prenant 3 fois le l de 

l'unité, donc le proiluit x'obtienlra en prenant 3 foi» le l de 4. 



Mais le 



de 4 » >, et 3 fois le ' = — = !>' 



134. Bègle-Puio' luidlititier une fraction jm- une 
fraction, U faut multiplier les nutiuraleu.a entre eux et le» 
dinuminateura entre eux. 

Soit k multiplier ^ par = 

Il f,»ut former un produit composé avec | comme l a été 
formé avec l'unité. 

Ur jj a ete formé en prenant 5 fois le ^ de l'unité. 

Donc le produit s'obtien Ira en prenant 3 fois le ' de f 

' l •-> 2 » 3 • 

Or le „ .le 3 = .j;-û (rendre une fraction 6 fois plus petite) 

et 5 fo,s le ^ = 3^^,= ^--. 

135 Extension de la règle précédente. 

Pour prendre des fraction» de fraction» en nombre 

quelconque, on multiplie Um» U» numiratmra entre eux 

amai que toua lea dinominateura. ' 



— 48 — 



Soit à prendre les ^ des j «e 3 



4X9^ 3 4 



xfix'2 






IV._DlVISION DKS FRACTIONS ORDINAIREa 

136. Règle.— Pour divUer ujio fraction par un nombre 
entier, on multiplie le dtnominaleur par le nombre entier, 
sans toucAer au numirateur ; ou bUn. d la dwse est iwsdbU, 
on divise le numérateur sans toucher ou dénominateur. 

Conséquence du théorème II de la numération des fractions. 

138 Règle.— Pour diviser un nombre entier par une 
fraction, on muUiplie le nombre entier par la fraction 
diviseur renversée. 

Soit 9-^3 Appelons Q le quotient. 

Le dividende étant égal au produit du diviseur par le 
quotient, il vient : 



9 = 



Q. 



C'est donc que les 5 du quotient valent 9 

i ,, 9 

donc 5 „ .1 _ 

et les * ou le quotient entier — -4- c. q. f. d. 
138 Règle —Pour diviser une fraction par uive fraetion, 
on multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur 
renversée. 



... 3 5 
Soit à diviser j -î- g 



Soit Q le quotient. 



11 vient 



3 

"i 

3 

= 4x6 
B il* 

et les g ou le quotient = 4x6 



C'est-à-dire que les 5 du quotient = 



donc le g 



— 49 — 

§ 2. — Fractions décimales. 
A) Numération des prajtioîjs décimales. 

138. On appelle Araotion décimale une ou plusieurs 
parties de l'unité divisée en parties éj^ales de 10 en 10 fois 
. plus petites. 

140. Ce (jui a été dit, lors de la numération des nombres 
entier.-i, pour les nombres partant de 1 et étant de 10 en 10 
fois pliKs grands, peut se répéter pour les nombres partant de 
1 et étant de 10 en 10 fois plus petits. En sorte .(ue l'on peut 
consi.lérer la suite indéfinie des nombres dont le nombre 1 
tii ndrwit le milieu et qui, s'étendant à droite et à gauche, 
serait, dans toute son étendue, régie par le même principe : 

" Tout ckifre plitcé à la ijauche d'un autre, exprime des 
unités d'un ordre 10 foi» supérieur à cet autre" 

Ainsi l'unité divisée en 10 parties serait composée de 10 
dizihiui^; cha(|ue dizième de 10 centièmes; chaque centième 
de 10 millièmes, etc. 

141. Pour distinguer les unités entières des parties déci- 
males, on les sépare par une virgule que l'on place entre les 
unités simples et les dizièmes. 

Exemple : 37,6245 s'énonce 37 unités 6245 dix-millièmes, 
ou encore H76245 dix-millièmes. S'il n'y a pas d'unités 
cntière.s, ou les remplace par un zéro, de mêiiiu que les unités 
décimales des ordres qui pourraient manquer. 

Exemple : 0,03402. 

142. Rèçle. -Pour énoncer une fraction décimale ou un 
nombre décimal, en lamjage ordinaire, on énonce le nombre 
comme s'il n'y avait pas de virgule, en lui donnant le nom. 
de l'unité décimale représentée par le dernier chiffre de droite. 

143. Règle.— Pour écrire une fraction dicimale ou un 
nombre décimal, en cliiff'res, on l'écHt comme s'il s'agissait 
d'un nombre entier, en ayant soin de placer la virgule de 
telle manière que le dernier chiffre à droite amt au rang qui 
convient à l'unité décimale énoncée. 



-60 — 

144. Principe.— On ne change pas li valeur d'une fraction 
dicimaU, quana on écrit un certain nombre de zéros à sa 
droite. 

En effet, Je même que dans les nombres entiers, les unités 
de 10 en 10 fois plus grandes vont de droite à gauche, dans 
les nombres décimaux, les unités dé 10 en 10 fois plus petites 
vont de gauche à droite, et par conséquent, les différents 
ordres d'unités d'un nombre décimal, dizième, centième, etc.... 
ne sont pas affectés quand on ajoute des zéros à la droite du 
nombre. 

145. Règle. — Pour rendre un nombre décimal, 10, 100, 

2000 fois plus grand ou plus petit, il suffit de reculer 

la virgule de 1, 2, S... rangs vtrs la droite ou, vers la gauche. 

.57,46:1 est 10 fois pins grand que .5,7463 parce que chaque 
unité occupe im ordre .l'iinités 10 fois supérieur au chiffre 
correspomlant dans le 2" et inversement. 

, B) Calcul des nombres décimaux. 



il 






I— Addition. 

146. Règle. —L'addition des nombres décimaux se fait 
exactement comme l'iiddition des nombres entiers. 

On les écrit les uns en dessous des autres de telle sorte que les 
unités d'un même ordre se trouvent dans une môme colonne 
verticale, c'est-à-dire, d'une façon générale, que les virgules 
se trouvent dans une même colonne verticale. 

Exemple : soit à additionner : 

7,4652+42,623-1- 125,4^ 0,89786 



7,46520 

42,62300 

125,40000 

0.89786 

I76.3860fi 



disposition du calcul 



14,25 
iy 

5700 
4275 
4"«,450 



— 51 — 

II— SOCSTRACTIOK. 

«ifZ: "*«'''— '^ somtraction «e fait commt pour U, 
nombres er,Uers. eu tenant compte de la place des Zrguul. 

m.— MUITIPLICATIOX. 

148. RègIe,_P(„-r multiplier entre eux deux nombres 
déc.v.^ux.on opère comme si les nombres étaient entiers, 
sanssocc.)^ des virgules ; mai., on sépare sur la droite du 
pro,mtparunerdri,ule. autant de chifres Mmau^ quHl 
y en a dans les deux facteurs réunis. 
•Soit à multiplier 14,25 x •'i,4 

En supprimant la virgule au inultipli- 
canile, on rend ce nombre 100 fois plus 
Srand (145) et, par conséquent, le produit 
100 fois plus grand. 

En supprimant U\ virjjule au multipli- 
cateur. on rend ce nombre 10 fois plus 
grand et, par conséquent, le produit 10 fois plus grand. Donc 
par la suppression des virgules dans les 2 facteurs, on a rendu 
e produit 100X10=1000 fois trop grand et, pour lui 
rendre .«a vraie valeur, on doit séparer sur la droite du 
produit 3 chiffres décimaux. 
2" ExE-MPLE : 0,025 X 0,004 = 0,000100 = 0,0001. 

IV.— DlVLSIOK. 

149. Kègle.—Pcncr diviser un nombre décimal par un 
nombre entier, ou fait en sorte y„e les J nombres aient h 
■mime nombre de cicifres décimaux (cest-à-dire que Ion 
ajoute, à la droite du nombre entier, autant de zéros qu'il y a 
de chiffres décimaux dans le dividende. 

Dès lors, on suppHme la virgule au dividende, et on opère 
comme si les nombres étaient eiUiers ; lorsque tous les chiffres 
du dividende sont épuisés, on place une virgule au quotient 
et on continue l'opération mi écrivant un zéro à h, droite de 



— 52 — 

thaqne dividmde paHid, jv^M ce que Von aU obtenu, av. 
quotient, U nombre de chiffres décimav^ rmrquée far 
l'approximation désirée. 
Exemple: Chercher le quotient Je 1245,25 par 37 avec 

une approximation du îqqô . 



124525 
11100 
13525 
11100 
24250 
22200 
20500 
18500 
20000 
18500 



1 3700 
33,655 



Reste de la division de 

1245,25 par 37 — 15 



1500 
Note Dans l.i pratique, on fait l'opération sans s'occuper 
de la virgule du dividende ; lorsque les chiffres de la partie 
entière du dividende sont épuisés, on place une virgule au 
quotient et l'on continue l'opération. 

160 Règle —Pour diviser un nomtrc entur ,ku- un 
„o,ni.re didmal. o« ofere de la même façon ; oa écrit à U 
droite du dividende autant de zirœ o«'ii y <' de ch,ffr<s 
décimaux dans le diviseur H. après avoir supprime la 
virgule, on op^e comme précédemment. 
Soit à diviser 37 par 4,25. 

3700 I 425 



3400 

"sôoô 

2975 
25 



8,7 



quotient à -^ près 
Reste = 0,25 



ISl Règle —Pour diviser «u nombre décimal par un. 
n^e d^imal, on fait d'abord en sorte que le nomh,e de 
^iffres décimaux rnU é,jal d^ns U diMe^ide et dans le 



>><i 



— 53 — 

diviseur; puis on «upjtrime la virgule, et on opirf. comme ai 
les rwmhres étaient entiers. 



Soit H diviser 1245,25 par 4,375 à j^ près 

1245250 I 4375 

37025 284,62,S ,|Uotient ' ~p,ès 

20250 Reste =- 2,500 

27500 
12500 
37500 
2500 

En supprimnnt la virgule au dividende et au diviseur, le 
<|Uotient n'a pas changé, n.ais le reste '2500 est 1000 fois trop 
grand. 

Donc reste exact = 2,5 

§ 3.— CONVEKSIOX DES FRACTIONS ORDINAIRES EN FRACTIONS 
DÉCIMALES 

153. Règle. —Pour convertir une fraction ordinaire en 
frciclion Héoim-ile, on divine le numérateur par le déno- 
minateur. 

Exemple : '^ = 0.625 

Fractions décimales pékiodiqces. 

154. Lois «le la division du numérateur par le dénomina- 
teur d'une fraction irréductible, il peut se présenter 3 cas : 

1' La division .se fait exactement et le quotient a alors un 
nombre limité ile cliiffres. Ce cas donne lieu aux fractions 
de'cimales ordinaires. 

2" La «livision ne se fait pas exactement et le quotient 
CDntient un nombre illimité de chiffres, se reproduisant périodi- 
quement à partir du premier chiffre décimal. Ce cas donne 
lieu aux fractions décimMlea périodiques simples. 



il 



-54- 

a« La division ne se tait pas exactement et le quotient 
contient un nombre illimité de chiffres dont une partie 
seulement se reproduit périodiquement Ce cas donne lieu 
aux fractions décimalea périodiques mixlfs. 

166. Voyons d-ins quel cas. on peut reconnaître qu'une 
fraction ordinaire irréductible donnera une fraction déci- 
male ordinaire, une fraction décimale périodique simple 
ou une fraction décimale périodique mixte. 

1« Toute fraction ordinaire irrédiictible •^^- dont le déno- 
minateur ne contient pas d'autres f,u:teurs premiers que ceux 
de la base (^ ou 6) donne lieu à une fraction déeiniale 
ordinaire. 

Le nombre des chiffres décimaux est marqué par le plus 
grand exposant du facteur 2 ou 5 contenu dans le 
dénominateur de la fraction. 

Exemple : j = 0,6 ; 5 =" 2» "" ^'^'^^ 
2° Toute fraction ordinaire irréductible ^ dont ledé- 
nominaUur ne contient pas <U facteurs premiers contenus 
dans la base, donne lieu à une fraction décimale périodique 
simple. 

a) La partie décimale est iUi.uitée. En ettet, le dénomina- 
teur étant premier avec la base, en multipliant le numérateur 
par 10 et des puissances de 10. on n'introduit que les facteurs 
2 et 5 premiers avec le dénominateur. Donc la division ne 
pourra jamais se faire exactement 

b) La partie décimale est périodique. En ettet, comme 
tous les restes doivent être plus petits que le diviseur et en 
nombre indéfini, il faudra qu'après un- certain nombre de 
divisions ^ (D-1) au maximun J- les restes se représentent et 
aussi les quotients (La période est l'ensemble des cliittres qm 
se reproduisent périodiquement). 

Exemple: j = 0,671428 571428. 



— S5 



3» Tout» fruction orUinaire iiriducUble, ']*, durU U 
dénominateur contient, outre <JUh jwteur» premUr» non 
contenus dans la base, dei facteurs de la base, donne lieu à 
y-ne JracHon décimale périodique mixte {oou,i,oiàtion des cas 
1° et 2°). Le nombre des chiffres non périodiques est 
déterminé par le plus grand exposant du facteur 2 ou 5 
contenu dans le <lénominateur; le nombre dej chiffrei pério- 
di()ues (fournis par les facteur» premiers avec la base) est 
égal au maximum à autant d'unités moins 1 qu'il y en a 
<lans le facteur premier avec la base. 



Exemple : 



8 -= 273 =0,1666.... 



4^ 
IS 



575 = 0,i26666 . 



140 



" 2^^775 = 0,02142857 



§ 4— CoNVEtSIOS LES FRACIIO.N.S HÉCIMALES EN FRACTIO.VS 
ORDINAIRES. 

A) Fraction décimale ordinaire 

ISe. Règle. -Pour convertir une fraction décimale en 
/niclion nnlinnire, on écrit en numérateur le nombre 
décimal el en dénominateur l'unité suivie d'autant dit zérox 
qu'il y a de cUi(tres décirïiaux dans le nombre décimal 
proposé. 



»ii 



.5,67 



.TfiT 
ÎÔÛ 



EXEMH'.E : 0„S2.5 = ~ 

B) Fraction décimale périodique simple 



24.5,8 = ?^ 



157 Soit une fraction décim.»le périodique simple 

N = 0, «te abc ahc... (1) 

o6c étant la période. Multiplions les 2 membres par l'unité 

suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres pério liques 

(par 1000 dans ce cas) ' 

Il vient 1000 N = aie, abc abc... (2) 



- S6 — 

RetnDchoDS (1) de (ï), il vient: 

!)99 N — (t 6 c il'oii 

N — -flgg d'où 

Règle.— rouie fraction dicimaU périodique simple eut 

igaU à utw fraction ordinaire, dont U numérateur e»t 

formé de la p&riode et dont U dénominateur est formé d'un 

nombre composé d'autant de 9 qu'il y a d4t chiffres dans la 

période. 

laa La période (Tune fraction périodique aimpU est 
divisibU par U numérateur de la fraction irréductible qui 
a donné la fraction périodique. 

Soit en effet ^ la fraction irréductible qui a donné nais- 
sance h la fraction périodique 0. ahc' ahc abc. . . . donc 
M 



1 = 



, abc abc. . . . 
(0, abc abc. . 



d'où 



M 



Or la fraction étant irréductible, M et D aont premiers 
entre eux, donc M doit diviser 0. abc abc, donc aussi abc. 



O Fraction périodique mixte. 

159. Soit une fraction décimale périodique mixte 
N— 0,(ie abc abc abc... (1> 
de étant la partie non périodique et a fc c la partie périodique 
Multiplions les 2 membres de (1) par l'unité suivie d «utant 
de ziros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique et 
dans la partie périodique (Dans ce cas 100000) il vient : 
lOOOOON — de abc, abc abc... (2) 
Multiplions (1) par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y 
a de chiffres dans la partie non périodique, il vient : 
lOQ^i^B de,abc abc... (3) 



-S7 _ 

Retranchons (3) de (2) il vien.iru : 

100000 N - 100 N-,<, ah,:-.l, 
99900 N=./(. ,il>r~,le 
lie abc — de 



N=- 



IHIHIKI ^ 



D'où 



mfwnp 

Rég\e.—T(nUe fraction 'Ucimalepérimiùjue mixte enléyalf. 
à une fraction ordinaire, dont le numérateur est égal à la 
ptirtie non périodique mi vie de. la partU périodique, moim, 
la partie non périodvpte; et, dont h dénominateur est formé 
d^un nombre composé d'autant de 9 qu'il y a de. chiffres dans 
la période suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans 
la partie non périodique. 

-'H :i^i} _ 4 

Wl °° !KI ~ 1.-, 



Exemple ; 0,2666 ... = ■" -i . 



0,432765N7(i3,s. 



. 4.l-w!7ll.'i)t V.U 



4;«;*iu 

niH)!)ii(iiT 

4!)'J!Ï'if«i 



180. ie nuraérateur de la géne^-atrice d'unie fraction 
périodique mixte, ne peut être terminé par un zéro. 

En effet, « cela pouvait avoir lieu, on .levrait, .l.ms le 
numérateur de la valeur de 

Ti — de a bc — de avoir, e = lua 
t)990(l c = « 

et alors la partie périodique commencerait un cliirtVc plus tôt 
et la partie non périodique n'aurait plus ((ue un chiffre d ce 
qui est contre l'hypothèse. 

§ 5.— Fractions continues 

161. Les fractions continues iloivent leur origine à 
l'évaluation approchée des fractions dont les termes sont 
grands et premiers entre eux. 

Les fractions continues sont du donuiine de l'aljrèbre et y 
donnent lieu à une théorie dont les propriétés sont très impor- 
tantes. Certaines fractions de la forme a + ' i j,„„t 

f u/tl lutrin* ai- !■••.. »~f ' . f> . . . . ' ~ 



facilement transformées en fractions ordi- 
naires par la méthode des fractions continues. 



<: + 



<i + . 



-88 — 

Non» croyons reiilie service luii élives en leur iniiiquant, 
par une théorie facile et tris «uccinte, la formation de» 
réduite* »ucce««iv*« qui donnent lu valeur de la fraction 
cherchée. 

182. Le^ fractions continues sont des c .tpresaions de la 
forme 



« + i;+' 



r + 



'I + 



En effectuant les opération» indiquée» dans cette expression, 
on obtient pour résultat une fraction ordinaire qui e.»t la 
valeur de la fraction continue. 



Soit par exemple : 
successivement : 






on trouve 



1 9 1 

5 + — r = 5 + 9 - 9 . 

^ + 4 



^2 + 4 9 



9^ 
49 



et 



enfin 



3 + r 



= 3 + i5 = 



163.— Supposons qu'on veuille réduire en traction continue 
une expression fractionnaire g 
A et B étant des nombres entier.^. 



On aura -g """'•■ Tj 



a + 



C étant le reste 



Divisant B par C il vient : 

I* ^ I. -1- ' D étant le reste de la division 



_B 

O 

de même 

C 

D 



D 



E 



et ainsi de suite. D'où 



-Stt- 



•^="^i.' 



Ti 



Oouo 



•; + 



d + 



Pou, convertir une fraction ordinaire en fractùm conti. 
nue, xljaut „t>i,e,- mr «« deux tc-nte, comme « ou v,mlait 
trouver leur P. C. D. 



Soit à réduire '*! = l i. ' 

l«7 ^ 



' + 



^ + 1 + 



qu'on ^crit par 



^* + i 



abréviation (1,1,2,1,1,4,5,) 

164 - On appelle quotient incomplet des uon.l.rea tels 
queo.6,f,rf. . . qui entrent dans la fraction continue; quotient 
oomplet cliaque quotient incpmplet suivi de toute la quantité 

qui lui est jointe par lésine + ( h + ' i N ; les frac- 

^ <■■ + - j ' 

''""" 4 ■ c ■ î ■ «'appellent fractions partielles. 

Les expressions a. a -r i , „ 4 ,J ^ i , etc.. forn-ées par les 

différentes fractions partielles portent le'no.n de réduite, ou 
iraotions convergentes. 

160. loi de la formation de» réduites. 

On a pour les deu-x premières : 



,1 nl,J 

a + X = - 



On passera à la 3" réduite en changeant, dans la 2" , 6 en 
(b + ;j et il vient alors : 



a + 



r f. — 



3» réduite = 






^ r -f- 1 






(/,,. + i| et ainsi de suite. 



On en déduit donc qu'un,-, réduite quelconque, à partir de 
iMb-'.peut être formée en n»iUipliu,nt Ua deux tennes de la 



— 60- 

rMuitt in-Miiti'l' ji'tr '<■ '/«"«'■'"' incmiM <U U iMuit: 
comMiTile et ajoutant rn<i>eetiviiment avie j/tw/uif» le» lUux 
termen île l'uvant fn-M'lenlt réduile. 

lee. Soit k former le» r.liliiite.t uii fraction» convergente» 
de la fr»ction continue repréientéc par ; 
X = H, 4,2,1 ,2,1,4) 
On trouve par lupplication ilo la BèRle N° lli5 le» fractions 
converffenten suivantes : 

1 » Il IH +3 M 27» 
î' <■' H ' l;i' :«' 4x' •îT, 

NoTt-Si.aanH la traction \- B est plu» s"»"'' 'l«e A, on 

écrira F"Tl "" °^^'' "'"""'* précédemment, 

A 
mais les réduites trouvées doivent être renversées, pu.wiue 
les valeurs approchées doivent toutes être plu» petite» .,i.e 
l'unité. 



CHAPITRE IV. 



§ 1.— Puissance» rt uacinks ukh nÛmhres. 

167. f)n «ppelle puiiMnoe d'un m.iiil.re, le produit de ce 
nombre multiplié un certain nombre de foi» par lui-même. 

La .* iHiUmnce ou oarré d'un nombre uH le prduit de ce 
nombre par lui-même ; la .r pui^ance ou oube d'un nombre 
est le produit de ce nombre pri» trois foii comme facteur et 
ainsi de suite. 

168. La puissance .s'in.lique par un cliitTre plac» à la 
<lroite et au-dessus <lu nombre Ce chiffre ou indice de U 
^>ui!i8ance s'appelle l'expoaant. 

Ainsi In ;J« puissance ou cube de 2 s'écrira 2» . 

169. Ihéotémo.-Si un nombre premier <<it»»« une 
puusunce d'un nombre, il divine m nombre H riciormiat. 
ment. 

Soit rt un nombre, premic-r-livisant A^ je dis .|ue a divise A. 
En effet A» -AxA v: A En vertu de (9(i), a divise un de» 
facteurs A. 

no Théorème -Si deux nombrea annt itremiern enlrt 
eux, leun puiasanees sont premières entre elles et récipro,iae- 
ment. 

Si rt et b .sont premier» entre cu.-c. je dis <,ue a» et i^ sont 
«us.«i premiers entre eux. 

Car, s'ils admettaient un facteur premier commun il 
diviserait .séparément rt et /,, re ,,ui est impossible, puisque a 
et b sont premiers entre eux. 

m. La racine dun nombre est un autre nombre .jui 
multiplié par lui-même autant .le fois que l'indique l'indice' 
de la racine, reproduit le nombre donné. 

Ainsi la racine carrée d'un nombre est un autre nombre qui 
multiplié par lui-même, repro<luit le nombre donné. 



— 62 — 



I I 



112. L'indication d'extraction de la ricine est donnée par 
le signe y qu'on appelle radical. 

].13. L'indice du radical est un chiti're qui se place dans 
l'ouverture du signe |/ et qui indique à quelle espèce de 
racine on a affaire. 

Exemple: -^9=3 parce que 3x3=9 et on dit que la 

racine carrée de 9=3 
f'8=2 parce que 2X2x2=8 : racine cubique de 8— 2 

=a" : racine n= de a° = a 



^a 



axaxa. 



§2. — Du CAUKÉ ET LA KACINE CAUKÉE. 



174. On appelle carré d'un nombre, le produit de ce nombre 
plis deux fois comme facteur. 

175. Théorème I. — Lu différence entre les carrés de deux 
nombres consécutifs vaut l'unité augmentée du double du 
plus petit de ces nombres. 

En effet on a : 

(a+l;3 _ ((2 = a^ + 2« + 1 _ «2 = 2a + 1 
. Corollaire. — La partie entière de la racine carrée d'un 
nombre fractionnaire est identique à celle de la partie entière 
de ce nombre. 

176. Théorènae H. — La partie entière de la racine carrée 
d'un nombre N se compose d'autant de chiffres qu'il y. a 
d'unités exactes ou par excès, dans la moitié ^lu, nomhre de 
chiffres de la pa.tie entiers de N. 

Soit N' la racine carrée de N et uyant n chiffres à sa partie 
entière. 

N' ayant n chiffres est plus petit que le plus petit nombre 
de (m+l) chitt'rcs, et plus grand ou tout au moi s égal au 



plus petit 



nombre de n ehiff'res. C'est-à-dire : 



10"~'<N'<10" 
jQto-2<N<10*n 



D'où élevant au carré 



— 63 — 

°',irrV" P'"" P*"' "'""^'™ ^o (2»+!) chiffres et 
(2n-l) '. 

On pent ,lonc dire ,,ue puisque N est <102» il „„ „. » 
avcr (2n+l) chiff.es et puisque X est > 10^ -i,' ' ra'vo 
au mmiumm (2«-l) chiffre». " ^ ^^°" 

tZ chiffres. 1 une Je celles-o pouvant n'avoir que 1 chiflre. 

carr. entier":„?; Ît'co'ntlf ' TZl "" '^ '^ «^'^ «-"'^ 
N=(„.l0+6). + R = («.10). , 2(„ io)j ^ j, ^ jj 

Or la partie (a.lO)^ne peut donner de chiff^res significatifs 
a ordre .nfeneur à celui des centaines ; donc cette nartr 
pourra être contenue que dans le, centainesdeT 

Soit N' les centaines contenues dans N 

Soit en effet a' la partie entière de j/N' on a • 

«■<1/N'<a-+1 d'où élevant au carré, on a: -. 

«'^ ^^'<(a+lf et par suite, si N" représente 

le no„,bre forme par les deux chiffres de droite de N ou a • 
«•^<N'.A'"<(a+l;^ puisque' ' 

0. N est <1 (théorème I) ^ 

D'où enfin „-. .,0^ <N'N"<(„-+i). jq. Or N'N"=N 
donc a'10<yN<(a'+i)io 

Ainsi v'N est compris entre a' et (a'+l) dizaines 
donc «„„. 






I[ ' 



— 64 — 

Corollaire Le premier chiffre de j/N s'obtient en 

extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenu 
dans la tranche de gauche du nombre N, décomposé en 
groupes de denx chiffres, à partir de la droite. 

Si N' est composé de plus de deux chiffres, on raisonne sur 
N' comme sur N, et on reconnaît que la racine carrée du plus 
grcad carré entier contenu dans le nombre de centaines de N', 
est le nombre de dizaines de v'N' et oinsi de suite. 

178. Théorème IV. — Si, aprh avoir retranché de N, le 
carré des dizaines de la racine, on ilivine le reste du nombre 
de centaines, suivi au préalable du, J"" chiffre de la tranche 
suivante, par le double du, nombre de dizaines obtenu à la 
racine, on aura le chiffre des unités ou un chiffre trop ékvé. 

En effet, après avoir retranché de N.'le carré des dizaines ; 
il vient : 

N_(a.lO)2 = 2((t V.))b + (-2 + R 
Or, la partie 2(((.10)6 ne peut donner d'unités signiticutives 
d'un ordre inférieur aux dizaines ; donc le chiffre de droite de 
l'exc&s iudiciué ne peut en faire partie : et par suite, en divisant 
le nombre formé par les chiffres à gauche du chiff're de droite, 
par le double du nombre des dizaines, on aura le chiffre des 
unités ou un chiffre trop fort, car cette partie contient encore 
des unités de report, ayant pour origine le carré V des unîtes 
et le reste R. 

Corollaire.— On obtiendra donc le second chiffre de la 
racine, ou un chiff're trop fort, en divisant l'excès de la tranche 
de gauche sur le plus grand carré entier qui y est contenu, 
mais suivi du premier chiffre de la tranche suivante, par le 
double du premier chiff're de la racine. 

Remarque I.— Lorsqu'après avoir déterminé un reste, et 
placé à sa droite le premier chiff're de la tranche suivante, le 
nombre ainsi formé est moindre que le double de la partie 
déjà obtenue à la racine, on place un zéro à la racine, afin de 
conserver aux chiffres précédents leur valeur relative ; et pour 



— es — 

continuer l'opération, on écrit le second chiffre de I. tnmehe 
CO.M. puis le suivant, et on continue comme pZlem! 

qu un chiffre à essayer est trop grand, et qu'on le diminué 
.mmed,aten.ent de «n« ou de plusieurs unies ; dans^.^ 
on sera avert. qu'on s'est trompé, lorsque le reste sera sup/. 
rieur au dovJie de la racine ainsi déterminée, (théorèm/^) 
"0 Les théorèmes précédents permettent à l'élève de 
formuler la régie pour déterminer la partie entier de la 
racine carrée d'un nombre. 



Exemple : 5602689 

4 

16.0 

279 6 



■2367 
43 

3 

129" 



466 

6^ 

2796 



4727 

7 

33089 



3308.9 
3308 9 



180. Si à la fin de l'opération, il n'y a nas d« «.t. i 
nombre est dit carré parfelt et la racine'est eTact ' 

§3.-L0IS DES NOMBRES NON CAKRÉS PARFAITS. 

181. Théorème l.-Tout nond^re N a.lmettant un facteur 
P«™^.r a. „ est pas carré j^rfait, s'il n'est pas divJ^Z 

En effet, la y'N ne peut être que de la forme 

na 

Donc le carré doit admettre le facteur a^ 

Corollaire.- W nomirre pair gui n'est pas m.UtipU de A 
n est pas carré par/ait. i^wi^ 



El 



i 



— 66 — 

182. Théorème U.—ToiU nombre impair N qui. dimi- 
nué de un« unité, ntsi p<is divisil>U par l n'est pas un. 
carré parfait. 

Car la racine carré de N aurait la forme (2n+l). dont le 
carré' 4n= + 4n + 1 

admet le diviseur 4 après avoir été diminué de 1 unité. 

183. Théorème m.— Tout nombre terminé par un des 
chiffreu 2.3,7 ou 8 n'est pas carré parfait. 

Cela résulte de ce que le carré de chacun des 9 premiers 
nombres n'est terminé par aucun de ces chiffres. 

184. Théorème IV —Tout nomhre terminé par un 
nombre impair de zéros, n'est pas carre mirfait. 

En effet, la racine terminée par des zéros, donnerait un 
carié ayant à sa .Imite un nombre pair de zéro^. 

185. Ihëorème -V.—Tout nombre terminé jmr 5 n'est 
pas carré parfmt, si le chiffre â/is dizaines n'est p<w 2. 

Car la n.cine a pour forme (a.10+5) dont le carré 
est ,0.10)2 +2(a.l0)5+52 = 

(«.10,2+(a.lO)10+5« 
c'est-à-diro un nombre terminé par 25. 

1£6. Théorème VI.— Tou* nomhre terminé par 6 n'est 
pas carré parfait, si le nombre ile ses dizaines nest pas 
hiipair. 

En effet, la racine carrée devrait être terminée par 4 ou 
par 6 dont les carrés donnent 16 ou 36 ayant un nombre 
impair de dizaine». 

181. Théorème VU —Un nomfcre JV est premier lorsque, 
n'étant pas carré parfait, il n'ed divisible par atican des 
nombres premiers nwindre que sa racine carrée (partie 
entière). 

En effet si N était divisible par un facteur premier > que 
V^, le quotient serait </N et par suite, N admettrait un 
f«!teur premier moindre que yN, ce qui est contre Ihypo- 
tbèse. 



— 87 — 



§ 4.— Racine carrée par approximation. 

JM. Lorsque le nombre N. dont on demande la racine 

carrée, n est pas un carré parfait, on se propose souvent de 

determmer i/N avec une uppro^cimaiion donnée, par 

exemple, à moins de j*„e ; alors il faut entendre sous cette 

désignation, qu'il s'agit de trouver deux nombres consécutifs 
,1e ;)i*ni.» comprenant entre eux ,/N 

189. Th«orème.-Z(!« nombres consécutifs de pt'"'" qui 
-.^prennent VN. sont respectivement les r.icines carrées 
des carrés entiers consécutifs, entre lesquels Np^ est inter- 
calé. 

Soient, en effet, ? et ^ deu.x nombres de p'^' consé- 
cutifs comprenant entre eux yN, on a : 



?<,/N<î±} 



D'où élevant au carré, on a : 



c'est-à-dire 



P^ - p^ 

x^ <N^ <{x+\f 
et par .suite en extrayant la racine 

x<^^Spi<(x+\) (1) cq.f.d. 

Ainsi pour obtenir yN à moins de iéme il f«„t divisa par 

p les racines carrées entières, par défmd et par excès, du 
produxt A i^ déterminé à moins <le une unité. 

Exemple : Extraire J453 à mcins de -. près 

_453x 6» =453X36=16308 

-yl 16308=127 par défaut et 128 par excè.'. 
127 1 1*8 9 



m 



i 



— 68 — 

CorolUlre.-En posant p— 10,100,1000 on reconnaît 

que, pour déterminer i/N avec une, deux, trois décimales, 

il faut multiplier N par 10» , JOO» , 1000 .... ou placer à sa 

droite deux, quatre, six zéros ; et séparer une, deux, 

trois décimales à la racine carrée entière du nombre ainsi 

préparé. 

190. Lorsque N est une fraction décimale, il faut préparer N 
de telle sorte qu'elle ait deux fois autant de chiflres décimaux 
qu'on veut en avoir à i/N ; on fait abstraction de la virgule et 
l'on sépare, sur la droite de la racine carrée obtenue, les déci- 
males demandées. 

Lorsque N est une fraction ordinaire, on lit réduit en déci- 
males jusqu'à ce que l'on ait deux fois autant de chiffres 
décimaux qu'on v. ut en avoir à la racite ; et on opère ensuite 
cuninic précédeiiiiiient 

191. Loniu'on veut déterminer»l| sans que l'approximation 

soit donnée, il suffit de mettre cette fraction sous la forme ^ 
pour être fixé sur la grandeur de l'unité subdivisionnaire ; 

car le résultat sera V'aft 
6 

192. Si l'approximation de — devient [^ la formule (1) 
(189) devient 

x<JIE.<{x+l) 

» al 



nb 



P 



b ^l\W 



< 



et jiar suite 



Il faut donc multiplier par - les racines carrées entières. 



iV*2 



par défaut et par excès, du produit —^ déterminé à moins 
de une unité. 



— «»^ 



Exemple : ^453 à | près 
a' 



5 

6 
453x3fi 



26 



—052 à moinfi de une unité 



^<i52-2r, par J*f«ut=2e par excès, et par suite 



■^^-f =^0« et 



^(.+ ,)=|X26=1|«=2I* 
Les deux racine» sont donc 20^ (par défaut) et 2lt (par 



excès). 
Iienr différence est de- 



§ 5.-DU CDBE ET DE LA RACINE CUBIQUE. 

„ri?f f "" »PP«"e cube d'un no.nLr., le produit de ce nombre 
pris ,3 fois comme facteur. 

Les cubes des neuf premiers nombres .sont • 

1 2 .3 4 .5 6 7 8 9 
1 8 27 64 125 216 .343 512 729 
184. Théorème I.-Za diférence entre tes cube. ,U denx 
nombres qm drfèrent de une unité, vaut funité augmentée 
dutnple produit du plus petit ,U ces nomin-es. pur lui 
tnem e augmeri té de un. 
En effet : 

(a+l)3 -«3 =;îa2 + .3a + 1 = l+3a(a+l,) 
Corollaire.-L« partie entière de la racine cubique d'un 
nombre fractionnaire est identique à celle de la partie entière 
de ce nombre. 

196. Théorème ll.-La partie entière de la racine 
cubique d'un nombre N, m compose d'autant de chiffres qu'U 
y a d'untteji exactes ou par excès, dans U tiers du nombre de 
chiffres de la partie entière de N. 



r 1 



i\ 



-70- 

Soit N- la rMine eubiqu» d. N et ayint n eW«frti k « 
parti, entière. On a identiquein.nt, d'.pr*. un «iwnnement 

précédent (176). 

10"-><N'<10n 

Elevuit au cube 

10s«-3<N''<10*' 

103n-><N<10»' 

Or lO*"-' est formé de 8n-2 chiffres, et 

lOa» 3n+l chiffres ; c'est-à-dire qu il» 

admettent («) et (n-l-1) tranches de a chiffres une itentre 
tUea n'en ayant qu'un. Donc N no peut avoir (3n-l-l) 
chiffres et en aura au minimum (3n-2). 11 peut donc avoir 
(3n-2), (3n- 1) ou 3n chiffres. ^ C. q f. d. 

196. théorème 111— £a racine cubique du plun grand 
cube entier, contenu dans k nombre formé par ie» chiffres 
Mué» à gauche ,Us trow chifiree de droite de N. est U nombre 
de dizaines de fN 

En effet, désignons par a le nombre de dizaine», par b le ' 
chiffre des unités de f N et R l'excès de N sur le plus grand 
cube entier qui y est contenu. 

Il vient : ,„ ,, u 

N-(a.lO+6)» +R=(«.10y +-H.f.W 6.f3 (.u.lO)62 ^(^ +K 

Or, la partie («10)» ne peut donner d'unités significatives 

d'un ordre inférieur aux mille ; donc cette partie ne peut se 

trouver que dans les mille de N. 

Soit N' le nombre formé par les mille de N ; appelons N" 
le nombre formé par les 3 chiffres de droite de N. 

Je dis que la racine cubique du plus grand cube entier 
compris dans N' est précisemeni j, 

Car, a' étant la partie entière de f N', on a 
a' < f'N' < (a'-f IJ et élevant au cube 
a'3 < N' < (a'-Hy et, puisque 0, N" est moindre que 

l'unité, on a ■ 

o'3 < N', N" < {.a' + Xf et multipliant par 10» pour 



-71 — 
•voir N'N"-N, 00 a 

«' IC < N'N" ou N <(„•+,). 10, d'où 
«'10 < (• N < („+i) 10 
Amsi f^N e,t «emprise entre a' et (a+l) dizaine, 

dlat^'h "",""" .'" f""" ^"'"' ''"^« -"•- -"tenu 
ae J chiffres à partir de la droite « H" 

sur JN comme on l'a fait sur N. 

197 Théorème I7.~Si. après avoir retrancU .le N U 
cube des ,U^a^ne. de sa r,u>ine. on divise U reste ,1. noLre 
•le mUle. «a»v, au jyréalM du premier chiffre delà trnll 
«— . par U tHpU carré du horaire 2 ZZ] T«t 
«Ua rac... on aura U cUffre d.s u.u,s. ou u. e/.^^^X 

En effet, le reste total de cette so„,tr«ction est • 

3(a.l0)» i+3 («.10)62 +t3 +B 
Or la partie 3 (a.lO)« 6 ne peut donner d'unités si™;fin« 

de droite de l'excès précédent ne peuvent en faire n«rH 
''Uite. en divisant le nombre formé Dar il oM^^^ ' ^^ 

Gi,l«..f U «u:ir , , . "'" "^""» P" les chiffres qu uié- 
cèdent le chiffre de droite, par le triple carré du nombre ,!) 
des dizaines trouvé à la racine, on aura le cliiff.e d"" ûli J 

iTs ""n! f ^ ''"' '"''• P"'^""' •=""" partie Ô;. et ~ 
les reports provenant de 3 (a.lO)62 , 63 ^.j r ^"""^^ 

Corollaire. -On obtient le second chiffre dfi 1- , • 
un chiffre t^p for, en divisant l'excè; de I/ . :, rVu" 
che sur le plus g„,„d „„be entier qui y est con m, ^ 
SUIVI. a„ préalable, du premier ch,ffre de la tranche .la":" 
par le triple carré du premier chiffre de la racine " 

pkcé à .,« .Iroite le premier chiffre de la tranche ,„iv,Z 
obtient un nombre inférieur au triple cuTé d: ,a £°: 



■■■Ml 



. 



obtenuo K la racine, on place un xéro à la racine, afln de eon- 
Mrver aux chiffre. précWenU leur, valeur, relative. ; pour 
continuer l'opération, on écrit le. deux chiffre, .uivant. de la 
tranche contidérée et le premier chiffre de la tranche .uivante, 
puis on continue comme précédemment , 4 ^ 

Remarque tt-Il arrive parfoi. qu'on présume, à tort, 
qu'un chiffre est trop grand, et qu'on le diminue immédiate- 
ment de un* ou de plwiiturs unité. ; alor., on wra averti Ue 
l'erreur lorsque le re.te sera supérieur au produit du trip e 
de la racine obtenue par cette même racine augmentée de 
l'unité, c'est-à-dire 3a(<»-(-l) [Théorème I] 

198 Afin de vérifier .i le second chiffre trouvé à la riicine est 
bon il faut former la somme 3(a,10)» h+3 (a.lO)/^ +'-' «» 
celle-ci doit pouvoir .e retrancher de l'bxcis de la tranche de 
gauche sur le plu. grand cube .lui y est contenu, et suivi de 
la tranche suivante 
Cette somme (S) peut se mettre sous la formw 

h [3 (a.lO)» -1-3 (o.lO)6-K>» ] 
On forme donc successivement 3(a.l0)î ; 3(al0)6; et ?^ 
La somme (s) de ces 3 quantités multipliée par h doit pouvoir 
se retrancher de l'excès cité plus haut. 

199. Les théorème» précédente permettent à l'élève de for- 
muler une règle pour déterminer la partie entière de la racine 

cubique d'un nombre 

Exemple : Soit k extraire ^«O*» 632 328 
Disposition des calculs : 
94.943.632.328 4562 
64 
309.43 



27125 

38186.32 

36938 16 
1248163.28 
1848163 28 



4800 
600 

25 

5425 
5 



27125 



e075UO 

SlOO 

36 



615636 
6 



3693816 



62380800 •Ai.a.Wy 

27360 3(rt.l0)/> 

4 1^ 



b24U8164. 
2, 



124816328. 



'»•• SI, à la Hn rie lopriration, il n'y « dm d« fft,t. l. 
non.br. „t dit o,^;„.,-„i, et Ur.el„ea,t.^»« ' ' 

S 8- Racine cubique par api-iioximatiov, 

aueÏéTt'T''""' 'V'""''"' •'"'" "" ^■'""'"'''' •• '«"ne «ubi- 
n.T„.r ir ""' • ""'""• "" "" P""^ — ' «■• ■'*"■•• 

'leux nombre, eoiisécut I/m .h- „'•■»." com»r,«,„./ / , 
cubu]iu>,/u nombre ilonnl 
202. Théorème. - Am nombres nu:cf»iiU ,h »'"«'.„„; 

*. rui., entur, conséontiU. entre U,,u..U N^ eU iZZu, 
En effet, désignons par? et ^> les deux noml.res consé' 
cutifs de p'.-. .„t„ lesquels f N est comprise, on a ■ 

d où élevant au cube 

*' < iV-p» < (a:+7>3 et enfin 

X < f"iVp3 < (3, + y) ^,j 

Exemple : Déterminer ^ ,,^ „„^ ^„^„^ ^ . 



d'oi'i 



•,Çf45!»7 est comprise entre 16 et 17 



■^^ = 4.597» 



D'où ^2l| 



~i et 



„ ou 2^ et 2j 
Corollaire.— Si on pose p=10, 100, 1000 
cest-à-dire si on veut obtenir #'N avec un^ 'deux trois 
décimales, .1 faut multiplier N par 10», 100^, 10(i()3 ou 



— T4- 

pUner à n drolta troU, tix, ntuf . . . ««ton ; «t tép^rtr un*, 
deux, troii . . . JWroalM K 1b raeiiia cohique entier» du nombre 
ainii pripâri. 

SU>8. Lorsque N eut une friiotion déciin»le, il faut I» pré- 
parer de telle iwrte qu'elle ait troi» fol« iiuUnt de décimale» 
qu'on veut en avoir kfH; pui» faire abstraction "le la virgule, 
et léparer sur ta ilroite de la racine cubiciue entière obtenue, 
las décimales demandées. 

Lorsque N est une fraction ordinaire, on la réduit en 
décimales jusqu'à ce (|u'on ait troiit foin autant de chiftres 
décimaux qu'on veut en avoir à U racine, et on opère comme 
précédemment. 

204. Lorsqu'on vent détirminer -W^ sans que l'approxi- 
mation soit donnée, il suffit de mettre Cftte fraction sous la 
forme ^, pour être fixé sur la grandeur de l'unité sub- 
divisionnaire, car le résulat sera — 



SIO^ Si l'approximation - devient^ la formule (1) (202) 
devient : 



=r<^Ço+l 



et par suite 



il faut multiplier par "^ Us racine» etéique» entiirea, par 
défaut et par excie. du produit -J^ Merminé à moins de 

une unité. 

ExiMPLE : Extraire -^21!^ à 5 près. 

_21?X 6> U9X216 _ 32184 ^ gg j^f^„t 
^P^^-gT— - 7X125 875 ^ 

f36 est comprise entre 3 et 4 

I 3x5 4XÎ* 15 ^ 

Donc W2I? est comprise entre -— et - j- ou j et ,- 



CHAPITRE V. 
BYITtms DU POIDS H 1IU0RU. 



s 1.— SySTftME MÉTiMi^Ur 

20a L'uniU fondamentMe do ce .y.t!;,.- •• ; „ne u,„,„..ur 
que on a appelé mètre. I^ ...^re e.,t !„ ,lix.,„ili;,., ,èl 
partie du quart dn méridien terrctre ou I,. ,,„„n.„t..n,i r 
lènie partie du méridien. ° 

ervat éta ent trè, vanal.lcs et différentes, ce qui apportait 
clans le, relation, coh„nerciales, non-seulement de gLde, 

on «.décida à mettre un terme on cherchant une mesure prise 

P.îr.™r"^"!fr "?'"'"'" " *" -^^P*"* »•"' «">hivesde 
auiJll I ^"^ "P** primitivement par la France, lest 

«ujourd hui par presque tous les Etats de lEurope. 

En Amérique, on suit sérieusement le mouvement • de, 
con^dérafons de routine seules empêchent d'admettre ce 
système trop brusquement. 

208. On a reconnu que l'étalon du ,„ètre conservé à Paris 
est un peu trop court «t que, dans le ] du méri.lien terrestre 
il y . 10 000.724 mètres et que de plus tous les ...éridien, ne' 
sont pas égaux entre eux. 

ll^gn'esm"" '" """ ""'*' " ""* '""'"'"'' *^*^P''""' 



,i 



I ! 



— M — 
SOS. Les unités principales du système sont au nombre 
de 6: 

1° le mètre pour les mesures de longueur 

2o le mètre carré et l'are pour les mesures de surface 

S" le mètre oube ou stère pour les mesures de rulumf 

40 le litre pour les mesures de capacité 

5° le gramme " " " î"»"^ 

6° le franc " " " monnaie 

X.— Mesure des longueurs. 

210 L'unité fondamentale de mesure des longueurs est le 
rrùlre. Les sons-multiples du mètre sont : 

le décimètre = ^, partie du mètre 

le centimètre = -j^ 

le millimètre = j^jj^ 

Les multiples du mètre sont : 

le décamètre = 10 mètres 

l'hectomètre = 100 

le kilomètre - 1000 

le myrlamètre = 10000 " 

La chaîne d'arpenteur vaut 1 d#camètre=10'" 

Le kilomètre sert presque exclusivement pour la mesure 
des grandes distances. Vhectomitre ne sert que pour le 
Ijornsge des routes ; \e myriamHre ne sert que dans les 
travaux de triangulation des pays. 

Pour les petites mesures, on se sert des sous-multiples. 

B.— Mesure <les surfaces. 

211 L'unité fondamentale de mesure des surfaces est le 
mitre carré ou centiare : c'est un carré ayant 1 mètre de 
côté. 



— 77 — 
Le» soas-inuUiples sont : 
le décimètre carré qui vaut 

le centimètre carré " •• 



IflO 

i_ 

11)000 

1 

I00<*IOO 



mètre carré 



le millimètre carré 
Les multiples sont : 
le décamètre carré ou are qui vaut 100 m^ : c'est l'unité 
de mesure des surfaces agraires 

loK°"'*" ""'•'" •*'""'" /•"■ -°' '««OOn,» ou 

L'/SJr*?' """^ '""■ '""* '""OOOO"'^ ou 100 hectares 
aux Î ^^^»°"— 'tiples, I ... et le ee««i«„, serveTt 

aux mesures agraires. 

Les subdivisions du mètre carré sont de 100 en 100 fois 
Plus^^peftes ; ., faut donc 2 chiffres pour exprimer un o^^: 

Le nombre 62">^,42.5672 s'énonce 62 mètres carrés 42 déci 
mètres carrés, 56 centin.ètres carrés, 72 millimètres carrés 

C— Mesure (les volumes. 

mSfe cÏbf ^"""'""".""'^ ''« °'-«™ "- volumes est le ' 

Tau eur en. "" '! ^ f' "" ""'^ "y*"' "" '»*'«' « 
hauteur, en largeur et en longueur. 

Les sous-multiples sont : 
Le déoim^tre-cube 



qui 



"""' m, ''" •"être cube 



Le centimètre- cube " ■• ! •• « 

. lOOOOOO 

1* mètre cube na pas de multiple.s. 

Los subdivisions du mètre cube sont de 1000 en 1000 foi. 

Le nombre 6^-^,mu72 s'énonce «2 mètres cubes, 425 déci- 
mètres cubes, 672 centin.ètre., cubes 
^^I^ nombre 2-85 s'énonce 2 mètres cubes, 3-.0 décimèt«s 



— 78 — 

218. Le mètre cube prend le nom de stdre lorsqn'il sert k 
la mesure du bois de chauffage. Le stire n'a qu'un sous- 
multiple, le déoUtére qui vaut i de stère ; et un multiple 
le déoastère qui vaut 10 stères. 

D. — Mesure des capcuiitéa. 

214. Les n.esures de capacités sont celles qui servent à 
mesurer les li(|nides et les matières sèches (blé, etc.). 

L'unité de mesure des capacités est le litre. 

Le litre est la capacité d'un cube ayant 1 décimètre d'arête, 
c'est-à-dire de 1 décimètre cube 

Le litre remplace l'ancienne pinte pour les liquides et le 
litron pour les denrées sèches. 

Les sous-multiples sont : 

le décilitre qui vaut le --, du litre 

le centilitre " " " -^ " " 

Lee multiples sont : 

le décalitre qui vaut 10 litres (anciennement le Imnneau) 

l'hectolitre " " 100 litres ( id le setier) 



E. — Mesure iks poidx. 

216. L'unité des mesures de poids est le gramme. 

Le gramme est le poids d'un centimètre cube d'eau distillée 
;. la température de 4° centigrades. 

On a choisi 4' ceiitigrailes (39.2 Farenlieit) parce que, à 
cette température, l'eau est à sou maximum de densité. 

On a trouvé que le poiils du j^ramme valait 18,8275 grains 
anciens et comme la livre ancienne contenait 921(1 grains, on 
recouuait que le kilogramme vaut S livres. 



— 79 — 
Les «ons-mnltiples du gramme sont : 
le déoigramme qni vaut le 1 du gramme 
le oantigramme " " " _L. •• .. 

100 

le milllgrimme ■ _}_ .< ,< 

• 1(»0 

Les multiples du gramme sont : " 

le déoagiaœme qui vaut 10 gramme» 
I neotogramme " ■■ iqq 

le kilogramme " " looo 
100 kilogra>nmes forment le quintal métrique 
^^ " forment la tonne ou tonneau 



et 



F-—Monnaieii dévimalea. 

216 Nous donnerons quelques renseignements sur les 
monna.es déc.„,„les faisant partie du syftème métrique et 
employées en France et en Belgique. 

L'unité de ces monnaies e.t le Franc; c'est un alliage 

bronze"""""'"' "^ '^"■''"" *" "'°°"'"""' '''"'■• ''''"««°* «' -J" 
1" Les monnaies d'or sont : 
les pièces de 100, 50, 20, 10 et 5 fmncs 
la pièce d'or de 5 francs pè,e 1,0129 gramme, 
les pièces d'or sont au titre de 0,900. 
2" Les monnaies d'urgent sont : 
le.s pièces de 6, 2 et 1 francs 

-j franc ou 50 centimes (0.50) 
j de 1)1, 20 centimes (020) 
La pièce de 5 francs en argent e.t au titre de 900 c'est 
à-d.re au t.tre de l'unité monétaire. 
Les autres pièces «ont au titre de 0,835. 



— w — 



La pièce de 1 franc n'est donc pas Vanité monétaire ; car, 
souB le poids de 5 jpwnmea, elle contient 83,5°/, d'argent 
pur au lieu de 90°/„ et 15,5°/„ de cuivre au lieu de 10°/o 

3° Les monnaies de bronze sont : 

les pièces de 10, 5, 2 et 1 centimes 

La pièce de 5 centimes pèse S grammes 

Il existe de plus, en Belgique, des pièces de 20, 10 et 
5 centimes faites ave? un alliage de nickel contenant 75"l„ de 
nickel et 25''/o de cuivre. 

Sous le même poids, la valeur légale de la monnaie d'or est 
151 fois celle de la monnaie d'argent et celle-ci 40 fois celle 
de cuivre. 

Un certain nombre d'Etats de l'Europe ont formé VUnian 
Monétaire pour la fabriciition des monnaies d'or et d'argent 
d'après les données d'alliage et de poids ci-dessus, mais sous 
des noms différents. 

N. B. — Le cuivre introduit dans les monnaies d'or et 
d'argent a pour but : 

1° de diminuer l'usure 

2° de couvrir les frais de fabrication ' 

3° de faire face à la perte que prépare à l'Etat la refonte 
des monnaies lorsque, par le fait de l'asage, le poids légal 
n'existe plus. 

4° de percevoir un impôt sur lu circulation monétaire 

217. Par l'étude des mesures du système métrique, nous 
pouvons conclure que toutes les mesures dérivent du mètre. 
Cette seule considénition révèle la supériorité de ce système ; 
celle-ci n'existe, non seulement, dans l'homogénéité et dans la 
régularité des différentes mesures, mais encore lorsqu'il s'agit 
de cette partie de l'arithmétique. 

Enfin, ce système est fixe, invariable et susceptible d'être 
adopté dans tous les pays, puisqu'il n'appartient à aucune 
pation. 



— 81 — 



§ 2 — Mesure de temps. 



218. Le temps est divisé en jours et en années. 
La subdivision du jour indique la rotation de la terre 
autour de son axe ; celle en années in.lique lu révolution de 
la terre autour du soleil. Cette dernière se fait en 365 jours 
5 heures 48 mimutes et iH secondes (année solairej. 
1 jour contient 24 heures 
1 heure « 60 minutes 

I minute " 60 secondes 
L'heure vaut donc 60 X 60=3600 secondes 
Ijour " •■ 24X60-1440 minutes 

1 année" " 36.5 x 24+5-8765 heures 

§ a— Mesures circulaires. 

J^^- !^''"rr' """ "=«"«' ''"' '«ppli-iuent à la division 
du cercle, loute circonférence se divise en 360 parties émules 
appelées degrés C^ ). " 

1 degré se divise en 60 minutes d'arc ( ') 
1 minute" " " 60 secondes ■■ (") 

220. Cette division permet, très aisément, de calculer les 
heures de deux endroits différents du globe, connaissant eu 
différence de longitude. On sait, par exemple, que Montra 
se rouve a 75" 45'24" ouest de Paris ; on demande l'heré 
qu 11 sera a Montréal lors.,„'il marquera midi à Pari.,. 

La terre faisant une révolution cou.pli-te de 360« en 
24 heure.-, elle décrira lô» par houre ; donc I" ,n 4 minute" 
de te,„ps et 1' d'arc en 4 secondes de temps. Donc pou 
décrire les 75^4524 , i, faudra 5KV. Il sera donc 6^57' du 
matin lorsqu'à Paris il sonnera.midi. 

«r!!!!' ^"'"r.""'"'"' ""^ '''■K'-^^. '"'"'"t., et secondes de circon- 
férence, une base topographique de 760"' 85. 



p'^iffy* " <^ w r«7 



ï -.il. 



ïf 



— 88 — 

Le quadrant terrestre vaut 10.000.000 de mètre» 

donc 10.000.000 de mètres currespendent à 90° 

«0 



et 
et 



1 

700.85 



lo.ouo.oao 

90°X7a0.85 



1U.UOO.000 

d'où TCO"" 85 correspondent à 0'',0068466-0'',0'20"65 

222. La division de la circonférence en degrés, minutes et 
secondes étant une division complexe, les savants qui ont 
iinuf^iné le système métrique des poids et mesures, ont pensé 
qu'il y aurait un grand avantnge à introduire la division 
ilécinmle dans la mesure des angles. 

On a regardé ciiinme unité principale le ;; de la circon- 
férence ou i|Uii(lrant et cf'tte unité a été divisée en 100 parties 
que l'on a appelées grades, le grade en 100 minutes et la 
minute en 100 secondes. Cette division est la division 
centésimale. 

La première est iippelée, par distinction, la divisioa 
sexagésimale 

223. 100 grailes valent 90° 

1 " " _^-_ 1 de degré 

100 10 " 

■ Kéciprociuemeut ; 

'M-' degrés valent 100 grades 

1"- " vaut -^"L ou — de grade 

Il est donc très aisé de passer d'un système à l'autre. 
Monnaie sthHiny ou tingluiae. 

224. Cette monnaie a cours dans la Grande-Bretagne. 

Elle te décompose en Louis ou /Souverain 
en shMinfjs 
en pences ou (feiiwrs 
et en farthingn 



— 83 — 

TahUau, des équivalrncên. 
4farthing8(far; = 1 penny (d) 

12 pences (ou deniers) = l ghelling (,,) 
20shellin^ - 1 Loais (£) 

21,hell.ngs = 1 Guinée (G) 

vont »Ï8~ '°""™" "' """" "•""'' '*' '''^ «'"^-^ «" 

Avoir^ir '"""'"■ """"""^ '" '="'"''• ^-''^ ' «- 

§4.— Mesures anciennes. 

A..~Meimrea de lunyueur. 

225. On emploie les deux «neiennes „,esures, la mesure 
franca.se et la mesure anglaise, Elles sont toutes les deux 
aussi complexes l'une que l'autre. 

Me», anglaise. Tableau des équivalences Mes. françaises 

1_ llK"» = o,()»l8 poute» nii^ki. 



1'-' ligne» (Ig, = 1 poiii-e d»,) 

8 pioil» = 1 ,<,i,j nu, 

3 toj«j« = I p„r„|,„ I j 

10 pi.rohe» = 1 arpent (»ip) 



1 grain d'orge = «,.1121 pouce» tram . 

I.. _„ " ~ '["""oelslignesjtp.,) 

12 ponces = 1 pJcKpi) 

3 pieds = 1 i.,r!/r (ver) 

35 verge» = 1 perche |pi,r) 

4<) perche» = 1 fnrlorig (f„r| 

H furlong» = I „,jl|„ („,) 

Emilie» = I lieue niï iiii»i^~"j~f ~ » "omo lo; 

1 mille = 51«« pieds a,Vui. = 4!M4 Ji^*' C,*!':"^- = l«« Pi««l« ""«Ui. 

1 p.ed fran,ais=«, nu-tre 3ii i t„i„^, „,,^^. ^g 

Memres pour Us draps. 

2526. Comme le nom l'indique, ces mesures servent pour le 
drap et toutes les marchandises qui se ven.lent à la vcrjfe. 
Tableau des équivalences. 



H pouces 
4 nails ou 9 pouces 
4 quarts ou 36 pouces 
3 " " j de verge 

6 " " IJ verge 



1 nail (na) 

i de verge (qr) 

1 verge (ver) 

1 aune flamande (A. FI) 

1 " anglais (A. A) 

1 " française (A. Fr) 



-84- 

R— tfMtire* dt iwrfaet. 

aan. On emploie encore le* aneiennet meenrea française! et 
les mesures anglaises. 



Metu/rtê françaiêti. 

144 lignes carrés = 1 ponce* 
l44|)oaoe«' 



36 pieds* 
9taiwi> 
100 perches* 
'OM arpenta* 



= Ipied* 
= 1 toise* 
M* 1 perche* 
= 1 arpent* 
= 1 lieue* = 
— 1.039 lieue ang. 



Metw» anglaiiu. 

144 BO!!-^* =:lpi* — 0.87«7pi. fr. 
,L -lïer*-7.8«i4 " " 

30i - .«s* = 1 i>er*=aS8,M81 " " 
4fi .y. .' =1 Teig<e> (tood=R)= 

29,4673 par. fr. 
4 'srzéee* si acre* (A)= 

' 1,1787 arp. fr. 

640 acr«s=* 1 mille* (M. car)» 

7M,3a29 arp. fr. 
« milles» =1 lieue* (1. oar)= 

0.96!» li. fr. 



C.—Menirts dt volume. 

228. Ces mesure» servent aux corps solides et en général à 
tous le» corps nyant 3 dimensions. Les dénominations sont : 
la corde, le tonneau, le pied cube et le powse cube. On emploie 
des mesures anglaises et des anciennes mesures françaises. 

Mtturts françaiêt». 
1728 ponces' = 1 pied' (pi. ou.) 
216 pieds' = 1 toise' (to. eu.) 
1000 pi' friuiv. = 1218,18*432 pi' ang. 
lUOO to' frao(. = 9745,4»14â6 vrg' 



Mesure» anglaifea. 

1728 ponces» = 1 pied* (pi. eu.) 
27 pieds' " 1 verge' (ver. eu.) 
40 pi * de bois eu grume 1 1 ton- 
50 pi' " " de refend/ neau (T) 
16 pi' '" 1 pïod de corde (pi. cor.) 
H pi. cor. ou I _ 1 corde (bois à 
128 pi' ! ~ brûler (Cor.) 



D. — Menuree de eafaeite. 
1° Meswn» pour Us UqwOee. 



1 s e p t ier =e 14,4.37.^ pouces cubes 

2 " ^1 chopiiie (cho) 
2 chopincN = pinte (pii^) 

2 pintes = 1 pot (pt) 

2 pots = I salliin (gai) 

.111 tïallons — 1 baril (bri) 



42 gallons = 1 tierçon (ton) 
*3 '• =1 barrique (hhd) 

84 " =1 tonne (ton) 

12» " ri pipe (PP) 

2S2 " w 1 tonneau (1) 

I tonneau — 33,687S pieds cubes 



— 86^ 

2» JUetureê pour matièrtê tiekei. 

Mesures anglaise,. Mesutts impMaUs. 



1 Chopin. = S3.«0at pouce. cubM 
» = 1 pinto 

2 pintn _ 1 pot 

2 pou =.lg.llo„ 

» gaUoiM » 1 minot (min) 

I minoU = I Htier (wt) 



Il chopine - 34,8M2S pou(<» cubea 
If , =1 pinto 

«pinto. = I gallon 
2g>llon> » I de minot 
4 quart. = 1 minot (bu«hel) 
I » minot. _ 1 Ktier (<)u«rtiii ) 



Minot du Ganda. 

iO pot, - 1 ,„,„o, ^ 8338.91795 poace. cube, angL. 

E —Mesures de poids. 

1» Poids Avoir-du-poida. 

230. U Pold, Avoir-du-poid. sert à peser les marchan- 

excepté I or et 1 argent. ■ 

Il se divise en tonneau, quintal, quart de qulnUl, Uvre. 
once et dragfme. 

Tableau des équivalences. 
16 dragmes (dr) - 1 once (on) ou (oz) 

1« °'«='"' - 1 livre (Ib) 

25 ou 28 livres . j d„ j^j^, , 

4 quarts (100 ou 112 Ibs) - 1 y„i„tal (qtl) ou (cwl) 
20 quintaux ou 2240 Ibs - 1 tonneau (ton) ,.u T 

La livre légale Avoir-du-poids est le poids de 27,7274 pou- 
ces cube, d eau distillée à la température de 62" F (l 7 ^cent \ ' 
le baromètre marquant 30 pouces. 

2° Poids de Troyes. 

231 Le Poids de Troye. est employé pour les pesées .r„r 
et d argent, le, b.joux, et,^ On l'emploie dans les expressions 
de chimie et de physique. 

Il se divise en Uvrt, once, gros et grain. 



Il 



i 



— 88 — 
TaUeav, d«» éqv,ivaUfnce$. 
24 gnuni - 1 gro. (gr) ou (pwt) 

Mgroi ' - 1 once (on) on (oï) 

U oneea - 1 ""» 0^> 

3o Poid« d«8 pkarmaeiena. 
383. Le pold. de» phwnnMletw est employé en médecine. 
U ^ di»i«. en Uw, onoe, dragme. ■crapule et gialn. 
ToMeau de» équivaUneea. 
24gr.in.(gr) = 1 ecrupule («) 

8«!rnpule« - 1 dragme (dr) 

8 dr»gme. - 1 ?P« (°''> 

333 £;,ui«.ii«»o« entre Us difiérenU poidi. 

UbTroye. " "JJ „ „ 

1 oa " ou de pharmacien - *»" 

1 Ib A. d. P. = *^Ii " A H P 

,„ -* 192 on. A. d. r. 

n5on.Troye. - U4 Ibs A. d. P. 

176 Ibs Troyes 

Y—Meeures d'arfenUur*. 
234. Pour la mesure de. terrains et des longneun,. les 
arpenteurs se servent, en outre des mesures françaises (§ 4-A) 
d- 'ne chaîne de quatre perche, ou rs p^ (me,, ang^ divi- 
sée en 100 chninons (links) et d'ure chaîne de 100 pieds. 
Tableau îles équivalences. 



7^0 pouces ■" 

26 chaînons = 

100 chaînons = 

10 chaînes = 

8 furlongs = 

10000 chaînons carrés — 

10 cliaines carré» = 



1 chaînon (link (1) 

l perche (per) 

1 chaîne (ch) 

1 furlong ifur) 

1 mille (m) 

1 chaîne carré (ch car) 

1 acre (A) 



>«MMU«teite 



CHAPITRE Vi. 
■APPORTS «T PEOPOBTIOWB. 



§ I — DÉtrNiTio.vs. 

aaS. On appelle rap|)ort, le résultnt do la c..,nn«rai,on ,1.. 
'leax nombre» de même espèce. '"puraHon do 

On peut comparer Icn nombres de deux muni..,,.- • „ 

z:*r':r'""-*i" "'•-"- n:;r:„r 

E\rr.:;:L:r;:::'r'"'' '"- - •■ "• 

De là deux espèce» de rapporta : 

le rapport par dlflérenoe o.i arithmétique et 

ooL''*'^'* P" "ï"«>"«nt ou séou.étri,,ue 

IZCt. ""'"'^^ ''■^' iantéCden, le second le 

Exemple : 36-12=24 est un rapport par différence 

Ï3~' " " " par i|iiotieiit 

287 Le, rapports par quotient étant les plus e.nplov.'.s ,.t 

238 Deux rapports sont dit» inverses r„„c. ,1,. r..„.„. 
quand rantécé.lent de l'un est 1. conséquent de . ^ 
réciproquement. '""ni it 

Exemple : '^ et ii' 



MKaocorr ntoumon tbt cmait 

(ANSl ond BO TESr CHAUT No. 2) 



lu 

I3J 



2J 



1.0 

1.1 s'-^Kâ 



i^l^l 



LÀ 

1.6 



^ 



d /VPUEO IM/1GE Ini 



1653 Eatt Main Streat 

RochMtar. Nn Yorti 14009 USA 

(TtS) 4W - 0300 - Phon* 

(7t6) 28a- 5909 -F« 



— 88 — 

MO. Un appelle proportion l'égalité de deux rapports. 
Comme il y a deux sortes de rapports, il s'en suit qu'il y a 
deux sortes de proportions : 
les proportions par difiérenoe ou arithmétiques et 
les proportions par quotient ou géométriques. 

§ 2. — Propriétés des proportions. 

SÎ41. QvMtre nombres sont dits en proportion, lorsque le 
rapport de deux d'entre eux est égal au rapport des deux 
autres et l'on écrit : 

27 : 3 : : 36 : 4 ou 27 : 3—36 : 4 ou encore et plus communé- 
ment •J'^'T 1"^ ''°" énonce 27 est à 3 comme 36 est à 4. 

Le premier et le quatrième termes sont appelés les 
extrêmes. Le deuxième et le troisième sont les moyens. 

242. Lorsque les deux moyens sont égaux, la proportion 
est dite continue et le terme moyen s'appelle moyenne 
proportionnelle, dans la proportion par quotient, et moyenne 
arithmétique, dans la proportion par différence. 

243. Théorème l.—Dans Unde proportion par quotient, 
le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. 

Soit la proportion y = ^ on peut, sans changer la valeur des 

fractions, multiplier les deux termes par une même quantité. 

Multipliant les deux termes de 7 par d et les deux termes 

de ° par h ; il vient : 

6xd~dx6 
Ces deux fractions étant égales et ayant les dénominateurs 
égaux, il s'ensuit que les numérateurs le sont également, 
d'où axrf=fcxc c. q. f. d. 

244. fhéorème II. — Réciproquement, si quatre nombres 
sont tels que le produit de deux d'entre eux est égal à celui 
des deux autres, ces quutre nombres sont en proportion. 



!fl 



'^*''»"* r » i.- 



— 89 — 

Si axd=6xc on en déduit en divisant les 2 membres 
par o'<a : 

aXd bxe ,, , 
ÏSrf"°îxd <^°"- 

a c 

6~d c. q. f. d. 

245. Cette propriété permet de déterminer un terme quel- 
conque d une proportion connaissant les 3 autres. 

U théorème I permet également de dire qu'on peut changer 
1 ordre des termes d'une proportion pourvu qu'on conserve les 
mêmes extrêmes et les mêmes moyens, de sorte que le produit 
des extrêmes soit toujours égal au produit des moyens. 

246. On appelle quatrième proportionnelle à trois 
nombres donnés A, B, C un quatrième nombre x tel que 



Sx ^°" 



Axa;=BxC et a-êïî? 
A 



Donc pour trouver une quatrième proportionnelle on 
dxvise le produit des moyens par Vextréme connu. 

On appelle troisième proportionnelle à deux nombres 
donnés A et B un nombre x tel que nombres 

g-j dou AXx-B» a!=£ 
Si le terme inconnu est tel que 

--| alors x'=AxB d'où ,-; J^^g 
ent^nT"*"'"" "'•'''' '""^''^ proportionnelle 

Don^la moyenne proportionnelle entre deux nombres est 
égale à la racine carrée du pro<iuit de ces cUux noZZ 

o^dmrTT^!^~^'''"' '""'' ^oportionM somme 



B 



— 90 — 



Soit la proportion |- ^ Ajoutons on retranchons l'unit* 
•nx deux membres de l'égalité, it vient : 

?±1--±1 on 
d 

a±b _c±d encore en intervertissant 

b d 



= -, Et comme -= % 



on a : 



c. q. f. d. 



l'ordre de» moyens 

a±b _<'_b 

■ c±d c d 

248. Théorème V^.—Dang toute proportion, la somme 

des deux premiers termes est à leur différence, comme la 

somme des deux derniers est à leur différence. 

a c 
Soit -, = ^ 

Le théorème précédent donne : 



£±i=? et 
e + d c 



a-b 
c-d' 



A cause du rapport commun - , il vient : 



a + b a — b 



ce qui peut s'écrire : 
c.:q. f. d. 



c + d c—d 

a-k-h c + ti 

a — 6 c—d 

249. Théorème V.—Dans toute proportion, la somme 
ou la différence des antécédents est à la somme ou la diffé- 
rence des eiynséquents comme un antécédent est à son 
conséquent. 



Soit 



'b''d 
a b 



a-±e 
"Eu' 



ce qui peut s'écrire : 

et d'après le théorème III 

cq. £d. 



«w II i.àii | ^ . 



— 91 — 

200. Théorème Vt-Si on multiplie pluaUurs pro- 
ptrtxon» Urme à terme, Us 4 jyroduUs forment «n« pro- 
portion. 



Soient 



3 4 . ±__9^ . « 7 

«""â ' 1S~27 ' Th^2Î 

3X5X8 _ 4X9X7 1 l 

axliSXlS 8X27X21 °" i8~îg 



d'où l'on tire : 



201. Théorème Va.~Dans une suite de rapports égaux 
la somme des antécédents est à la. somme des conséquents 
comme un antécédent est à son conséquent. 

Soit la suite ?=?=!_?« 

k d f h ■■ 

La proportion j=f nous donne £lf=f 
* a b+d d 

Mais l=- donc ~^~ et alors 



a+c+e e 



b+d+J / 
a+c+e g 



;=; et commi 



^i on a : 



et alors enfin 

a+c+e+g g 

b+d+f+r^h 



c. q. f. d. 



Des moyennes. 

2S2. Moyennâ arithmétique. 

Soit a>6 on aura 2a>a+i et 2b<ii+b 

. Don ^a+6<2<i donc aussi 6<lL*<a 

Cette expression — est appelée moyenne arithmétique ; 

elle est plus grande que le plus petit nombre et plus petite 
que le plus grand. 



— 92 — 



303. Moyenne géométrique. 
Soita>6 on a a'>ab et 6t<o6 
D'où 6"<ai<u' d'où aussi 

6<.Jrt6<o 

Cette expression ■Jab est appelée moyenne géomitrique. 

a&4. La moyenne arithmétique entre deux nombres est 
plat grande que leur mienne géométrique. 

Soient — et Jab ces deux moyennes et supposons 

que a>6 ; on peut alors écrire a— fc-r^ et dès lors 

^â6-^'(6+d)6='Jfc'+M (1) 

. n + i b+d+b 26+d ,^<i ,^^ 
On a aussi -g""" — 3 — ""2"" 2 ' 

Elevons (1) et (2) au carré, il vient : 

(^yl^y=ab=b'+bd (3) et 

Comparant (3) et (4) on voit que 

(±LLy>(J2>y c'est-à-dire que 



a v-6 



.>^a6 



§ 3.— Application des proportions. 



e. q. f. d. 



265. Des grandeurs liées entre elles de telle sorte que la 
variation de valeur de l'une entraîne la variation des valeurs 
des autres sont dites propertioniitlUe. . 

Les candeurs proportionnelles conduisent à des opérations 
connues sous le nom de JUgUe d. trois, de nOUinge et 
d'aUiage. de partage, de sociéU. d'intérêt et d'escompte. 



— 98 — 
A.—Aègl» de trola simple. 

286. ProUime.-8 ouvriers ont mis ÏO jonni poar furenn 
certain travail. Combien faudrait-il d'onvriera pour faire le 
même travail en 4 jours ? 

Si travaillant pendant 20 jours, il a fallu 8 ouvrieni pour 
faire un certain travail ; pour faire ce même travail en 1 jour 
il faudra 20 fois plus d'ouvriers ; ' 

et pour faire ce travail en 4 jours, il faudra 4 fois moins 
d'ouvriers que pour le faire en 1 jour ou i^=40 

Réponse : 40 ouvriers. , 

257. Régie de trois composée 

ProUènu,.-Comhkn 14 ouvriers feront-ils de ver«» d'un 
certain travail en travaillant pendant 7 jours, 10 hé^ "" 
jour; SI 8 ouvriers en ont fait 146 verges en loToZ^ 
travaillant 8 heures par jour ? ««« » 10 jours en 

8 OUT. trav. pendant 10 jours à 8 hrs par jour font 146 verges 



14 
14 
14 
14 
14 



10 

10 

1 

7 
7 
7 



8 
8 
8 
3 
1 
10 



146 
8 

I 

i*axi* 

8XÏÔ~ 
146x14x7 

«XIO 
14 6X14X7 
"8X10X8 
^«6X14X7X10 
8X10X8 



Réponse = 233jg verges 

E— Bègle de mélange. 

258. La Rèjle de mélange a pour but : 

l' De déterminer la vaUur moyenne d'un mOanae de 
plusieurs substances de valeurs différentes, lorsque l'on 
connaît la quantité de chaque substance qui entre dans le 
mélange et h valeur particulière de chacune d'elles 



.-^:,, 



-M - 

2» De dét&rminvr la qvMntiU de chaque tvhetance qui 
«ntre dan» un mélange, lorsque l'on connaît la valeur parti- 
«ulière de chacune et la valeur moyenne du mélange. 

2B9. Problème /.—Un homme a mélangé 85 minois de pois 

à 6 sous le minot, avec 15 minoU de blé k 4 sous et 20 minota 

d'avoine à 3 sous. Quel est le prix d'un minot de ce mélange ? 

Si 1 minot de pois coûte 68, 25 minots coûtent 150 sous 

1 .. •• blé " 4s, 15 " " 60 " 

1 " d'avoine " 38, 20 " " 60 " 



et coûte 270 

„ m= 

60 



Le mélange contient <iO 

donc 1 

Béponae ; 4 aous 6 deniers 
Donc pour trouver le prix moyen d'un mélange, il faut 
multiplier le prix de chaque substance qui y entre par sa 
quantité respective, puis diviser la somme des proJuits par la 
quantité totale du mélange. 

«MO. Problème //.-On a acheté du vin à 3 francs le litre 
et du vin à 1".75 le litre. Combien doit-on prendre de litres 
de l'un et de l'autre pour taire un mélange de 200 litres k 
2.80 fr. le litre ? 
Vin de 3 frs. Jom» ""« P«'*' •** ^^ 

Vendu à 2.30 
Vin de 1.75 . donne un gain de 55 

125 
La perte devant être compensée par le gain, il faut sur 
125 litres (par exemple) de mélange prendre 
70 litres de vin à 1.75 
55 303 



Sur 1 litr» de mélange, on prendra 



\-Sr " 3.00 6* 



W — 
Sur ÎOO litre, de milnage il faut prendre ; 

-112 litres à 1.7S 
uxaoo 



12S 



-= 88 



'3.00 



Il n'y a ni perte ni gain, puisque 

200 litres à 2 30 donne 460 francs. 
" 1-75 " 19«.00 " 
"3.00 •■ 264.00 " 

Vérification 460,00 francs 



et /112 
t 88 



C— Règle dAlUage. 
261. Lorsque le mélange a pour objet de rendre des ques- 
.ons relatives à la réunion de métaux, intimement mL ^ 
la f„s.on. la règle de mélange prend le nom de rig e dlïir 
et part>cul.èrement arnalgame quand I'„o d'eo7«it du 3' 
^re. On dés.gne sous le nom de titr. d'un alliage le r™ 
de la quantité de métal pur an poids total. Ain^l dJvT^ 
au titre de 0.980 lo^que. sur 1000 grammes "ttmnU 
d un hngot d'or à ce tit«., il y a 980 grammes d^rpur' 

262. Les problèmes d'alliage se t«utent identiquement 
comme ceux de mélange. uouwquement 

On a deux lingots, le premier au titre de 0,885 le second 
au titre de 0,950. Combien faut-il de grj^rae^k ^, 
i.ng.t^pour former un alliage de 1500 glm^l .tt 

^^ 900 ^^ »"gmentation dû titre 
^^ 50 diminution du titre 

65 
^ U_perte doit être compensée par l'augmentation, il faut 

Srr 65 gram. de mélange prendre f^^g^- ^ 0,950 et 

\60 " ■■ 0,886 



— w — 



0,950 

0,885 

à 0,950 

" 0,886 



I M 

Snr 1 gnmm. de mélange, il faut < ^ 

[« " ■ 
[ isximi 

Et sur 1500 gr. de mélange, il faut -'. y^iano 

On prendra donc 3*6^^ grammes à 0,950 
et nsa'ji " " 0,885 

D.. -Partages Proportionnela 

268. On a souvent k partager une grandeur en parties 
proportionnelles à des nombres donnés. Ce problème se pré- 
sente lorsque, par exemple, plusieurs personnes forment une 
société; les bénéfice» et les pertes se partagent proportion- 
nellement à la mise de chacun. 

284. Problhru. 

Partager 360 en 3 parties proportionnelles aux nombres 
2, 3, 4. 

Soient x, y. «, les 8 parties inconnues. On peut écrire 

2~3~4 
Appliquant une propriété des proportions (222), il vient = 

':+y+' _ f Mais x+y+ J-360, donc 
2-HJ-1-4 -' 



360 _ a; 
9 2 

De même 

360_y 

9 "a 

^ 360 z 
*t -5-=J 



d'où 

d'où 
d'où 



x-?><?i°-80. 



, =12^=160 



— 97 — 



265. Partngor 327 en 3 partie» proportionnelle» à % 6, ' 

d O 

8oiunt X, y, :, le» 3 purtien. () -uiru 

^ 6--7 a-oii (2Î2) :\ .,^1 •-' 6 ^ 



'à-i1_x 2-tx:i-'7 Hx 2X24X:1.'7 



d'où 



2X24X:«7 .,„lfi4 , . 

•" TBTxT- = 2« iTTi ''" '"'■'"" 

24X327x.i ^ 260^8 
•^ 181 1«1 

_ .>4X 327X7 ^ . ITu 
181 X« ■ 181 

E.— Rkole» de société 

Règle de société simple, 

288. Co eus est celui où les mises sont restées pendant le 
même temps dans une société ; les bénétices uu les pertes sont 
alors proportionnels aux mises. 

267. Problème.— Trois personnt n'associent pour faire un 

commerce. La première fournit une mise de S900, la jeconde 

SI 200 et la troisième 31500. Au bout de l'année, le bénéfice 

est de 3504. Quelle est In part de bénétice de chacune d'elles ? 

Soient x, y, z les parts inconnues : 

Elles sont proportionnelles aux mises, donc 

_x V z 

900 ~'l-ôÔ~ 1500 
Appliquons le N° 222, il vient : 

x+ y+z X y z 

'900" 



990 + 1200+1500' 

Mais x+ IJ + 2=sô04 donc 

504 



3600 ""900 



1200 1500 



d'où x=$126 



L t «Et I : 



S04 
B«00" 


y 

12U0 


ft04 
3«0(7 


■ 15UU 



d'ofi :=I210 



Règle de ■oolété oompoiée. 

2168. Ce eoa est celui où le» miaes et les temps sont iiiigaux. 
Alors les parts aont proportionnelles aux produit* des mise* 
par les temps. 

En etlet, une certaine somme x placée pendant un certain 
temps t équivaut k une somme Ix-i" placée pendant un 
temps 1. 

368. ProUèmc. — Trois associés ont mi» dans une entre- 
prise : le premier SOOO francs p<>ndant 10 moi?, le second 
12000 francs pendant (i mois, ei le troisième .5000 franc» 
pendant 13 mois. Le ()énéKce a été de 173»i0 francs. Quelle 
est la part <|ai revient à chacun ? 

Le premier associé ayant mis 80Q0 francs pendant 10 moi», 
on peut considérer (|u'il a mia «000X10=^80000 franc», 
pendant 1 moi». De même pour le second et le troisième 
qui, dan» ces conlitluns auraient mis pendant 1 mois, respec- 
tivement 72000 et (i.'îOOO frs. 

Nous retombons alors dans le co» précédent et ou trouvera 
pour le» parts : 



1« 17360 



21 



217000 
1736U 



800(10 

■ y 

72000 



d'où a =6400 frs. 



i/=.57(iO frs. 
î=.-j200frs. 



217000 
3e 17360 _ z 

217000 !>5000 

210. Kous verrous, en étudiant les questions d'intéiêta, 
comment on doit interprêter le cas de la rcijle de société 
composée, en ayant égard aux intérêts de chacun des associé», 
intérêts variant proportionnellement au temps pendant 
lequel la part a été laissée en participation. 




CHAPITRE VII, 



DU PROOBBWIOOT ET DE8 LOaARITHmS. 

§ 1. — De» ruofiBEasioNii. 

271. On appelle progreuion nne suite Je nuinhro» tels 
que le rapport entre deux termes consécutifs est cunstainiiieot 
le même. 

Comme il y a deux sortes de proportiur il y a deux sortes 
de progressions : 

1° Les progreiiions par diférenne ou arithmétiques, 
2» Les progrtssicru par quotient ou géométriques. 

A.— Progressions arithmétiques. 

272. On appelle progression arithmitiqtie ou par diffé 
rence, une suite de nombres tels que chucun d'eux surpesse 
celui qui le précède ou en est surpassé d'une quantité cons- 
tente appelée raiaon de la progreraion. 

Ces différents nombres s'appellent les termes de la 
progression. 

273. Pour indiquer que des nombres font partie d'une 
progression arithmétique, on les écrit les uns & la suite des 
autres en les séparant par un point et en les faisant précéder 
du signe -?- 

Exemple: -^ 4. 7. 10 13. 16. 19. 22 , 

274. La progressi<m est croissante lorsque les termes 
vont en croissant : la raison est alors positive. 

La progression est décroissante lorsque les termes vont 
en décroissant : la raison eut alors négative. 



— 100 — 

275. Ed général, nous désignerons les termes d'une pro- 
gression arithmétique par les lettres a.b.c i. k. l, la raison 

positive ou négative par r et le nombre des termes par m. 

-i- a.h.c i. k, L 

276. Théorème I. — Dana toute proijresaion arithmétique, 
un terme de rang quelconque est égal au premier flua 
autant de foie la raison qu'il y a .^e termes avant lui. 

D'après la définition des progressions 
le 2" terme b=a+r 
le 3" terme c=b+r=a+r+r='a+2r 
le 4° terme d''C+r=a+2r+r=a+3r 
et ainsi de suite. En général, le terme l qui on a («—1) 
devant lui est donc égal à : ' ' 

l=a+(n—l)r (1) 
Cette formule permet de déterminer un des éléments a, l, 
n, ou-r quand les 3 autres sont donnés. 
En effet, on tire : de (1) a=/— (n— l)r 

/-a 



(n-l)= 



/—a 



d'où 



n — i 

l—a , , 

n= 1-1 

r 



(2) 
(3) 



(4) 



2T7. Exemple.— Soit la progression arithmétique 

-^2.6. 10. 14. 18.... 
lo Trouver le 20« terme de cette progression. 
La formule (1) donne i=a-l-(m— l)r dans laquelle a=2, 
n—20 et r=4 d'où 

l-2+a9)i=lH 
2" Trouver la raison d'une progression arithmétique, dont 
le l" terme est 2, le dernier 78 et le nombre de termes=20 



l^a 78—2 
La formule (3) donne '''~;[:Zi~Tâ~- 



-A 



3» Trouver le nombre des termes d'une progression arithmé- 
tique dont le 1° terme =2; le dernier =78 et la raison =4 

l—a , , 78—2 , , „„ 
La formule (4) donne n=— -H=-^ (-1-20 



— 101 — 



278. Théorémo H.— flans toute progression arithmétiqiui 
limitée, la somme de deux termes à égide distance des 
extrêmes est constante et égale à la somme des extrêmes. 

Soit la progression -i-a. b.c x y i.k.l. 

X ayant p termes devant lui et 
y ayant p termes après lui. 
D'après les formules (1) et (2) on a : 
x=,a+pr (m) 
y=l—pr (n) 
Ajoutons (m) et (n), il vient : x+y=aH (5) 

279. Théorème III — La somme des termes d'une progres- 
sion arithmétique est égale au produit lie la demi-somme 
des term^.8 extrêmes par le nombre des termes. 

Soit la progression -*-a. 6. c i.k.l. et n le nombre 

des tenues. Appelons S la somme, il vient: , 

S = a+6+c+ i+/;+t et 

aussi S=t+/-l-i+ c+b'a 

Ajoutons ces deux égalités membre à membre. 
2S=(a+IH-(6+*)+(c+i)+ . . . .(i+c)+(fc+5)+(«+i) • 

Or les différentes parties (a+i). (b+k) sont toutes 

égales à (a+i) (Théorème II.) Leur nombre est celui des 
termes de In progression c'est-à-dire=Ti. 
On aura donc 2 S=(a+t) n d'où 

S=^ (6) 

279'''". Autre forme de la valeur de S. 

KemplB<,'ons dans (6j, l par sa valeur «+(»—! )r il vient r 

^ o+a+{»-l)r 2o+(ii— Dr 
S= ^ g xn= .2 XM 

Cette forme est utile lo-squ'on ne donne pis le dernier 
terme de la progression et que l'on connaît le l"' terme, la 
raison et le nombre des termes 

Elle évite la recherche de l. 



102- 



Insertion de moyena arithmétique*. 

280. Inaérer un certain nombre de moyens a/rUhmiliquea 
entre deux nombres donnés, c'est former une progression par 
différence dont les «omfcres donnée aaient les termes extrêmes 
et dont les moyens insérés soient les termes intermédiaires. 

Supposons que l'on demande d'insérer m moyens arithmé- 
tiques entre 2 nombres a et h. La question revient à chercher 
la raison de la progression dans laquelle il y aurait (m+S) 
termes. Or, la formule l=a-\-(n — X)r nous donne pour ce 

cas, i=a+(n.'.-(-l)r d'où l'on tire r= . (7) 

On obtient donc la raison de la progression en divisant 
la di^érence entre les S nombres donnés par le nombre des 
moyens à insérer plus utu 

5281 Théorème m. — Si entre deux termes consécutifs 
d'une progression arithmétique, on inaire le même nombre 
de moyens, les progressions parlieUes ainsi obtenues forment 
une setde et même progression. 

Soit à insérer m moyens arithmétiques entre 

' a et 6, 6 et c, c et d de la progression 

-f-a. b.cd dont la raison est r 

Les raisons des progressions partielles sont, en vertu de la 
formula (7) 

b- a c—b d — c T 

m+l^ni+l m + l"" m + l 

D'ailleurs, le dernier terme de chacune de ces progressions 
est le premier terme de la suivante. Donc on peut considérer 
cette suite de progressions comme n'en formant qu'une seule, 

Applioaiions 

282 I. Trouver la somme des 32 premiers termes de la 

progression ■+■% 6. 10. 14 18 

L'application de la formule (6) nous donne 

Z 



— 103 — 

Il fant donc d'abord rechercher le dernier terme. 

On a en vertu de (1) 2=a+(n+l>r= 2+31x4=126 

D'où 



S=-itMx 32-2048 



n. Soit à insérer 10 moyens arithmétiqnes entre 5 et 38 
lia raison de la progression est donnée par 
b-a 38-5_33 
'^m+l'"lO+l'~ll 



La progression est 

H-5. 8. 11. 14. 17 . 



.32.35.38. 



B. — Progressions Oéométrlques. 

283. On appelle progrenaion géométrique ou par quotient 
une suite de nombres dont chacun est égal au précédent 
multiplié par un nombre constant que l'on appelle la. raison 
de la progression. 

284. Lorsque la raison est plua grande que l'unité les 
termes vont en crois'<ant et lu progression est croissante. 

Lorsqae la raùson est plus petite qtie l'unité, les termes 
vont en décroissant et la progression est déoroissante. 

285. Pour indiquer que des nombres font partie d'une pro- 
gression pur quotient, on les écrit les uns à la suite des autres 
en les séparant par 2 points et en les faisant précéder du 
signe Tf 

288. En général, nous désignons les termes d'une progres- 
sion géométrique par a,b,c i, k,l, par n le nombre des 

termes et par ij la raison, de sorte que l'on aura. 
■H-o:t:c i:l:l. (1) 

287. Théorème 1.— Dans toute progrension géométritiue, 
un temi£ de rang quelconque est égal au premier terme 
multiplié par la raison élevée à une puissance marquée 
par U nombre des termes qui précèdent. 



104 — 



Soit une progression (1). D'après la définition des pro- 
gressions géométriques on a : 
le 2* terme b=aq 
le 3» " c-'l)q=aq' 
le V " d=cq~aij'' et ninsi de suite 

len» " l-aq"-^ (2) 

Cette formule (2) nous permet de déterminer l'une des 
quantités a, b, q, n conn issant les 3 autres. 



n-l|J 



(*) 



l' 



La formule donnant la valeur de n ne peut être résolue 
qu'à l'aide des principes sur la théorie des logarithmes. 

288 Théorème II. — Les termes d'une progression géomé- 
trique décroissante tendent vers zéro. 
La raison, étant plus petite que l'unité, peut être représentée 

par - , par exemple, et alors un terme qui en u n avant lui est 

représenté par 

Si le nombre des termes croit indéfiniment, le facteur ;" 

devient infiniment grand, et par suite, la fraction — devient 

infiniment petite et se rapproche d'autant plus de zéro que le 
nombre des termes est plus g-and. 

289. Théorème IV Dans toute progression géométrique 

le proC lit de deux termes à égale distance des extrêmes est 
égal au produit des'extrémes. 

Soit la p. g. -TT^a-.bm. ...x....y i:k:l. 

dans laquelle z a j} termes devant lui et y, p termes après lui . 



-'-S;"^I> 



-106 — 
En vertu dei formules (2) et (3) on a : 

Multiplions membre à membre ces deux éf^alités, il vient : 

-y=f-oi (6) 

290. Théorème V Le produit des termes d'une pro- 
gression géométrique est égal à la racine carrée d«- produit 
des extrêmes élevé à une puissance marquée par le nombre 
des termes de la progression. 

Soit la p. g. -a-aibic i:k:l. de n termes. 

Appelons P le produit des termes. 

P=ox6v<'. . . .ixÂ'x' et aussi 

P=ix^'xi ixbxa 

Multiplions membre à membre, il vient : 

P'=(al)X(lik)X{,ci). . . .(ic)X(/l-6;X(ia) 
Or les produits entre parenthèses sont égaux entre eux et 
à {al) (Théorème IV) et, comme ils sont en nombre ^n> 
on a : 

P' = (ai)'' doù P=.y|(aO" (6) 

Sdl. Théorème VI. — La somme îles termfes d'une pro- 
gression par quotient est égale à une fraction dont le numé- 
rateur est l'excès du produit du dernier terme par la raison 
sv/r le 1"' terme, et le dénominateur l'excès de la raison 
sur l'unité. 

Soit S la somme de la progression 

S=a+6+c+....i+i-+J (1) ' 
Multiplions les 2 membres de cette égalité par q, il vient : 

Sq=aq-i-bq-\-cq-h iq+lq+lq. (2) 

mais aq=b, bq=c ;cq = d; iq = h; kq=l 

Et alors (2) devient : 

S5=6-|-c+d....+fc+i+25 (3) 



J-1 



(7) 



— 106 — 

Betraochant (1) de (3) il vient : 
Sq-S=lq—a 

S (,q—l)=lq—a 

291*>i'. Autre forme de la valeur de S. 
Remplaçons dans (7). l par sa valeur ag»', il vient : 
ag°-'X9— a _ açi"— a _ a(y''— 1) », 

Cette forme est utile lorsqu'on ne donne pas le dernier 
terme de la progression. Elle évite la recherche de l. 

iJemargtw.— Si la progression est décroissante, la formule 

devient S=^ qui tend vers la limite S-^É^ (») '»"- 

que la progression décroît infiniment. 

Insertion de moyens géométriques. 

292. Inaérer «n certain nombre de moyens géométriijues, 
eiUre deux nombres donnés, c'est former «ne progression par 
quotient, dont les deux nombres donnés soient les extrêmes et 
dmit les moyens insérés soient les termes intermédiaires. 

Soit à insérer m moyens entre ieux nombres a et 6. 
La progression ainsi formée a donc (m+2) termes dont 
o et 6 sont les extrêmes ; la raison de cette progrewion est 

donc 5= -v/- (formule 4). 

On obtient donc la raison, en extrayant du quotient des 
deux nombres donnes une racine ayant pour indice le 
nombre des moyens à insérer pJus un. 

293. Théorème Vil— Si entre <letix termM consécutifs 
d'une progression géométrique, on insère U '.-Jme nombre de 
moyens. Us progressions partieUes ainsi obtenues forment 
une seule et m^me progfresBion. 

Supposons que l'on ait à insérer m moyens ntre chacun 
des termes o. 6. c. . . .d'une progression géométi.que. 



— 107- 



La raison de la prog. entre a et b est 



et ainsi de soite. 



= \'a 

m+l W 



Or -=T=-=. 
abc 



=7 donc q =q =q"'= . . . . = W^ (9) 
D'ailleurs le dernier terme de chacune de ces progressions 
est aussi le l"' terme de la suivante. On peut donc considérer 
toutes ces progressions comme n'en formant qu'une seule. 

Applications. 

294. Soit la progression géométrique 

#2:6;18:.54:162 

1" Trouver le 12« terme de cette progression. 

Laraison=3 et on a i=2x3"=354294 
2» Le dernier terme d'une progression géométrique étant 
354294, la raison 3 et le nombre de termes 12, donner "le 
1" terme 

_J 354294 

"" ?"-' ~f77147~ 
3» Déterminer la somme des 12 termes de la progression. 

o Iq—a 354294x3-2 
S=-f-^= TT--. =531440 



?-l 



3—1 



§ 2.— Des LOGARiTHHsa 

A.— Définitions et coxsiuératioVs oékébales. 

28S. Définition arithmétique. 

Etant donnée» deux progressions, l'une géométrique corn,- 
nunçant par l'unité, l'autre arithmétique commençant par 



— 108 — 

z(vo, Uk ttrmea de la progresnion arithmûiqv* êorU appiUê 
U» logarithmes de» termea de la progreiBÙm néométriqtu. 

Les progressions, ainsi écrites, forment un lystème à» 
logarithmM, et elles ne sont assujetties qu'à la seule condi- 
tion de commencer, la première par 1, la seconde par 0. 

286. On voit donc qu'il y a une infinité de systèmes de 
logarithmes, puisqu'on peut considérer une infinité de 
systèmes remplissant cette unique condition. 

Nous ne considérerons dans les calculs quele système des 
logarithmes vulgaires, ippelées aussi logarithmes de Briggs 
et qui a pour base 10 qui est la base du système de numé- 
ration décimule. 

281. On appelle base d'un système de logarithmes le 
nombre de la progression par quotient correspondant & 
l'unité de la progression arithmétique. La base e.st donc 
le nombre qui a pour logarithme 1. 

288. Le système de Briggs ou système de logarithmes 
vulgaires est défini par les progr... sions suivantes : 
.H-l:10:10':10":10*:.... 

-*-0. 1. 2 . 3 . 4 on voit que : 

le logarithme de 1=0 

10=1 
" " 10' =2 et ainsi de suite ; 

et en général : logarithme de 10->=ii ; et l'on écrit : 
log. 1=0 
log. 10=1 

log. 100=2 et, en général, une puis- 
sance dé 10 a pour logarithme son exposant. 

288. Définition algébrique par la fonction exponen- 
tieUo. 

On peut encore définir les logarithmes d'un nombre donné 
dan» U système décimal : le nombre auquel il faut élever la 
base 10 pour reproduire le nombre donné. En général, le 
logarithme d'un nombre, dans une base quelconque B, est 
l'expo»nt auquel il faut élever cette base pour reproduire le 
nçmbre donné. 



— 109 — 

800. D'après le § 269, on voit que les paissanees entiins 
de 10 seules ont des logarithmes entiers ; les logarithmes de 
tous les autres nombres entiers ou fractionnaires sont incom- 
mensurables. Ils ont été calculés en décimales. La partie 
entière du logarithme n'appelle la oaraotérlitique, et la 
partie décimale s'appelle la mantine. 

Les nombres compris entre 1 et 10 ont des logarithmes 
compris entre et 1 : leur caractéristique, est donc 0. 

Ceux compris entre 10 et 100 ont des logarithmes compris 
entre 1 et 2 : leur caractéristique est donc 1. 

En général, les nombres compris entrr- 2 puissances de 10 
ont pour caractéristique l'indice de la plus petite de ces 
puissances. 

Donc, la caractéristique d'un logarithme contient autant 
d'unités moins une qu'il a de chiffres dans le nombre. 

Exemple : le nombre 8964 ayant 4 chiffres aura le chiffre 
3 pour caractéristique, parce qu'il est compris entre 10^ et 
10* dont les logarithmes sont 3 et 4 

B.— Pkupriétés des looakitumes 



301 Théorème I. — Le logarithnie d'un produit de plu- 
sieurs facteurs est égal à la somiiie des logarithmes de ces 
facteurs. 

■ Soient a et b deux nombre" faisant partie d'une progression 
géométrique croissante, ayant respectivement m et n termeg> 
devant eux. 
On aura 0=^"" 

6=7" le 1^'' terme de la progression étant 1 
D'où <ix6=7"'+'' 

Suppo.>ions que mr et nr soient les termes de la progression 
arithmétique correspondants à g"" et </" de la progression 
géométri((ue : On aura 

log a=mr 
log i)=nr D'où 
log a+log b^mr-t-nrisr^m+n) 



— 110 — 

Or le terme (m+n)r eit, dan» U progretiioii urithmttiqae, 
le logarithme du terme qi'" + » de la progreMion giométrique. 

Alor» loRg""*» -(m+n)r Et par suite 
log(aX6)=logaflog6. 

802 Théorètne >! —L« logarithme d'un quotierU ttt égal 
à la difiértnoe de» logarithmtê du dividende et du diviêeur. 

Soit j=Q le quotient donné, d'od a=bQ. 
En vertu du théorème I, on a : lof a=loK 6+log Q d'où : 
log C=log a— log b c'est-à-dire log ^=log a— log 6 

803. Théorème 111.— i« logarithme d'une puissance d'un 
nombre eai ilg.il au logarithme du nombre multiplié par 
Vexpomnt de la jmiaaanee. 

Soit o" une puissance dont il faut chercher le logarithme. 

On a o'"=oxaxoxo (répété m fois) 

Eu vertu du théorème I, on a : 

log a"'=log a^-log a-i-log a répété m fois) 

Donc log a^=m log a 

804. Théorème IV. — Le logarithme de la racine d'un 
nombre est égal au logarithme du nombre divisé par l'indice 
du radical. 

Soit "'/o=6 d'où a=6™ et par suite du rWorèwe /// 

' log a=m, log 6 d'où 

loKO 



log b=- 



Or, log&=log'^o; donc log •ijja= 



lotr a 
m 



Tables de logarithmes. 

306. Les tables de logarithmes renferment les logarithmes 
de tous les nombres, généralement de 1 à 10000. Celles de 
Chambers vont jusque 10800. 



— 111 — 

Lm logarithmes sont le plai lonvent nIetiKt jnsqne U 
7* dMmal>" Chaqne table de logarithmei donne nne préface 
ezplieative an sujet de son emploi. Une leetnre attentive de 
cette préface suffira pour mettre le lecteur an courant de la 
méthode à suivre pour trouver le logarithme d'un nombre 
donné, ou trouver le nombre correspondant à un logarithme 
donné. 



Compléments arithmétiques. 

306. On appelle oomplémant arithmétique d'un loga- 
rithme ce qui mnnqiie à ce logarithme pour faire 10 unités 
entières ou, ce qui revient uu même, le résultat que l'on 
obtient en retranchant de 10 le logarithme donné. 

Ainsi le complément de :),4726843= 10— 3,4725843= 
C. 3,472.'5843=6,5274157 

On obtient un complémnit en retranchant de 10 le 1*' 
chiffre de droite et tous les autres de 9 

C. 12,72.58437=3,2741668 
C. .3,746.5287=12,2.534713. 

307 Usage del Oomplémeata. 

Lorsque, dans les calculs par logarithmes, ou est conduit à 
faire une soustraction, on lu transforme le plus souvent en . 
une addition à l'aide des compléments. 

Supposons que l'on ait à trouver le résultat numérique 
l l'+r—V"; {,{,'{,"{,"' étant des logarithmes à ajouter et à 
retrancher. On peut écrire que 

i— j'+r-r"= (!+ 10- f '+r+io-r-2o 

Or 10— r=complément de V 

10— i"'=complément de i"' Donc 

i—v+i"—i":^i+c. log i'+i"+c. log i'"—io 

C'est-à-dire que pour avoir le résultat cherché, il faut 
faire la somme des logarithmes affectés du signe + et des 
compléments des logarithmes nffectés du signe — ; puis retran- 
cher de la caractéristique du résultat autant de fois 10 que 
l'on a pris de compléments. 



F 

W 



— lia — 

SML Nom .von. dit, m d*bnt d" considération» g*"*'»'»^ 

DM- le* progrMtioni. 

Non. allon. voir 1. moy.n d. p-~r d'un .y.«.«. d. 
lomrithm !i un «utre. 

On peut to^jour. clioi»ir. k volonté, d.nx V«>li^""'^- 

:;:tZT.C "Itiui t^ 'de toute, ie. propriété, 
démontrée, pour le. logarithme, vulgaire.. 

Soient «et .Me. logarithme, d'un «ombre N dan. d.nx 
eyatime. de bare a et 6 

Par définition, le logarithme d'un nombre ««» '» 1"»^;^ 
à laquelle il faut élever la ba« pour reproduire le nombre 
donné ; on aura donc ; 

f N=a» et 

' ''' [ N.^' 
D'où, prenant le. logarithme, de. égalité. (1) dan. le 
premier ny.tèrac, on aura. 
, logaN=a; 

logaN=x'log„6 D'oii 

J^N 1 xiog„ÎI=-i-xas 
ISg^T l3p '°8-«' 

Or X- e.t le logarithme de N dan. la ba» b ; dono: 

Pn„r ^r:r d-un <,ystim^ d<mt la base est ^ à ^..n autre 

.Z rina bL Ji on multiplia tous Us logaHthmes 

s'appelle module. 

a09. Le rapport des logarithn^x de d^ ^^^ «^ ^ 
,,nêm àana tous U» sytthMS. 






— 118 — 



Soirnt A H B dtax nombres et koit - le rapport de Uan 

n 

logkrtthmet dans an certain lyitima. On «un doue 

(1) !2îiA_!? d'où m Iog,B=n log.A oa encore 
loR.B n 

log,A"=loK,B"' ou A"=B"' (i) 
Prénom le logarithme de cette égalité (2) dan» un autre 
lyiitime. 

log,An=Iog,B'" C'e«t-Jk-dirfl 
n 1og,A=m îog.B donc 

' log.B n 

De (1) et (3) on tire : -ISKA- ^-^^ Ce qui veut dire 
log.A log.B 

que le ropport de» logarithme» d'un même nombre dan- deux 
nystème» diflérentâ e»t le même pour ton» les nombre». 
310. Si l'on désigne ce rapport constant par M on a : 

l oK.A _M d'où 
log.A 

log,A=M log.A (a) 
On en conclut que, \onq\ie l'on connaît le logarithme d'un 
nombre dan» un système, pour avoir le logiirithrae de ce 
nombre dan» un autre système, il faut multiplier le premier 
logarithme par un nombre constant M. Ce nombre constant 
s'appelle le mocluU dij second système par rapport au 
premirr. 
811. Nous avons vu (279) que 

x'^-L—xx (b) Si nou» ideulilion» (a) et (b) 
'ogob on voit que 



le module M= 



loga'' 



— 114 — 

C'est-à-dire que le modvle est l'inverse du logarithme de 
la nouvelle base pris dans l'ancienne base. 

Exemple : Etant donné que le logarithme de 3452 est 
3,5380708 dans la base 10, on demande de trouver le loga- 
rithme de c* nombre dans la base 7. 

log,3452=M Iog,„3452=-i— X Iogj„3452 
Exemple de calcul logarithmique : 



î,i8»sx«»4,'2 xo.ooa» 



0,000480x437' X 0,0376 
5 loK X=log 7,1895+ii log 47M,-J+3 log 0,00.')L>8-log 0,0004*9—3 log 457- 

2 log 0,0376 
5 log X - log 7, 1 S95 +2 log 4764,li+5 log 0,00326-1-0. log 0,000489 - lO-H 

C. 3 log 457-10-)-C. 2 log 0,0576-10 
= 0,85«6«87 



lo- 7,1895 
2 log 4764,2 
5 log 0,00326 
C. logO,U0048a-10 
C. 3 log 467-10 
C. 2 log 0,(1576- 10 



= 7,3359800 
=13,3660880 
= 3,3106911 
=. 8,0202514 
= 2,4791330 



logX 



7,5888642 



7,3888612 
=2,7177728 
X=^0,062312 



log 0,00«489^4,( 

3 log 457 =7,9797486 

2 log 0,0676 ==3,5208450 



CHAPITRE VIII 



l.-DES INTÉRftTS. 



312. On appelle intérêt la somme payée par l'emprunteur 
au prêteur, pour l'usage d'une certaine somme d'argent que 
l'on appelle oapital. 

L'intérêt se règle d'après les conventions entre les intéressés 
ou d'après les conventions légales et se paie à tant pour cent 
paran(%). 

Ainsi on dit qu'un capital est placé à 5%, quand on rvçoit 
5 dollars par 100 dollars placés pendant un an. Cet intérêt 
pour cent s'appelle taux. 

A. — Intérêts simples. 

313. Formules générales. 

L'intérêt est dit simple, lorsqu'il se paie chaque année et 
constitue une rente. 

Soit un capital A placé pendant t années au taux i. Un 
demande l'intérêt au bout de ce temps. Soit X l'intérêt 
cherché. 

Puisque SlOO rapportent en 1 au S i 

1 " .. i >• _L 

100 

^ 100 



Art _Y 

ÏÔÔ~ 



A " " t 

Donc pour trouver l'intérêt nu bout du, tempit t, an divise 
le produit du capitfd, du tawr. et du temps par 100. 



— 116 — 



314. T?e la formule (1), on peut diduire une den quantités 
X,A,i,t, les trois autre» étant connues. 

310. Trouver le capital, connaissant l'intérêt pour un an, 
le taux et le temps du placement 

La formule (1) nous donne, en tirant la valeur de A 



. lOOX 
A=__ 



(2) 



On divUe donc 100 foi» l'intérêt par le. produit du taux 
par le temps. 

316 Trouver le taux, connaissant le capital, l'intérêt et le 
temps du pincement. 

La formule (1) donne encore : 
. lOOX 



At 



(3) 



On divise donc 100 pis l'intérêt par le produit du capital 
par le temps. 

317. Trouver le temps d'un placement, connaissant le 
cnpital, l'intérêt et le taux. 

La formule (1) donne : 

lOOX 



' <=- 



Ai 



(4) 



On divise donc 100 fois l'intérêt par le produit du capi- 
tal par le taux. 

318. Applications. 

I. On demande l'intérêt produit par une somme de tlSOÔ 

pincé à S°/o pendant 4 ans ? 

Kit 
Formule (1) donne X='rjjjj- dans laquelle 

A= 1500, 1=5, <=4. donc 

X,l^g><i=|300. 

II. On demande le capital qui, placé pendant 3 ans à 4°/^, 
a donné un intérêt de 1240, 



— 117- 



Forinule (2) donne A= 



lOOX 



dans laquelle 



X.240, i.4, /.3 
. 100X24(1 



donc 



=12000. 



m. On demande de déterminer le taux de l'intérêt d'an 
capital de t6000 qui, étant placé pendant 12 ans, a produit 
«2880. 

Formule (3) donne t-—jy- dans laquelle 



At 
X = 2880, A=fi000, ^ = 12 

. 100X2880 



■4°/o 



6000X12 

IV. On demande de déterminer le temps pendant lequel 
un capital de (5680. placé à !>''l„ a produit un intérêt de 
S2840. 

inox 



Formule (4) donc t =- 



Ai 



dans laquelle 



X=2840, A=5fiS0, i=5 

10,PX2840^j0ans. 
■5680X5 

319. Si l'on veut résoudre toutes les questions précédentes 
et rechercher la valeur des divers éléments au bout de 1 an, 
il suffit dp faire dans les formules t=ï 

320. Si le teiiip^ donné est un nombre ile mois, il suffit de 
remplacer, dans les formules, t en traction d'année. Ainsi, par 

exemple, t mois=— d'année. 
1a 



Alors les formules deviennent i 



X= 



Ait 



A= 



isonx 



1 200X 1200X 

~" A( ""Ai 



laio '' it 
321. Si le temps donné est un nombre de jours, il suffit de 
remplacer, dans les formules, t en fraction d'année. Ainsi, par 

exemple, t iours= d'année. On ailmettra 360 jours 

poar l'année commerGiale. 



ï 



I- 



w 



-118- 
Les furmuleii Jeviunnent alors : 



X= 



Ait 



^_3600»X 



36000X 



36000X 



"36000 "■ ît- ^=-47— '=— ÂJ— 
Si le temps est donné en année, mois et jours, on le trans- 
forme complètement en jours. 

321W-. Problènie.-Trois associés ont mis dans une entre- 
prise : le premier 8000 frs pendant 10 mo-s, le second 12000 frs 
pendant 6 mois et le troisiè-ne 5000 frs pendant 13 mois. Le 
bénéfice a été de ] 7360 frs. Quelle e»t la part qui revient à 
chacun (Le taux de l'intérêt étant fixé à 6o/„) 

Intérêts de 8000 frs pendant 10 niois= 400 

•■ " 12000 " " 6 •• = 360 

"5000 " ■■ 1.8 " = 325 

" " 25000 =i;^ 

..!'„™1* ^"ooJ' ^^'^F" P"'P°rtionnellement aux mises la 

Ce partage donne : 



somme de 17360—1085=1627.5. 



Pour le l"' associé 



16276X8000 



=8208 



-=7812 



2S0U0 
^e 16276X120 00 

250U0 
ge 16275X 6000 _ 

250ÛÔ ^255 

Pour avoir la part totale de bénéfice, on ajoutera aux parts 
précédentes la part de bén<:fice provenant de l'iatérêt de la 
somme placée. 

Ainsi le 1«' associé aura 5208+400= .5608 
2' " " 78124-300. 8172 

3* •■ " 3255-1-325= 3580 

Total des hénéficea^ 17360 

B.— Intérêts Composés. 

322. On dit qu'un capital est placé k inUr^ composé 
lorsque le prêteur, au lieu de retirer chaque année l'intérêt 
du capital, le laisse entre les mains de l'emprunteur, pour le 



— H9 — 

faire valoir conjointement avec la somme primitive pendant 
l'année suivante. 

Soit A le capital placé et X ce capital accru des intérêts 
n la durée du placement 

i le t<iux "/• et r l'intérêt de «1 pendant 1 an ; alors 
I 
''"ÏÔÔ 
Si 81 rapporte r par an, A rapporte Ar 
donc an hout de la !'•"' année, le capital est devenu : 
A+Ar=A(l-|-r)=A' 
De même, an bout de la 2» année, le capiUI A' placé dans 
les mêmes conditions que A, produit A'r et devient au bout de 
cette r.nnée : 

A'+A'r=A'(l+r)»A(l+r) (l+r)=A(l+r)' - A" 
Ce nouveau capital A", placé dans les mêmes conditioas 
pendant la 3" ••.inée, produit A"r et devient donc : 

A"+A"r=A"(H-,-)=A(l-r r)' 
et ainsi de suite, de sorte qu'au bout de n années, lé capital 
accru de ses intérêts, sera devenu, par analogie : 
X=A(l+r)» (1) 
mbi». Si au lieu de supposer l'intérêt dû seulement 
1 t'ois par année, on le suppose dû /: fois par année au taux 
lie ^- par intervalle, le capital A, accru des intérêts se com- 
posant de ^ d'année en ^ d'année devient, au bout de 
n années : 

X = A(l+g"*- (D 

323 Cas 011 le temps comprend une fraction d'année. 

Supposons que la durée du prêt soit .le n années et t jours. 

On calcule d'abord ce (jue devient le capital pendant les 
« années. La formule (1 1 nous donne 

• X'-A(l+r)n 
puis on consiilère ce nouveau capital comme placé à intérêt 
simple pendant les k jours. 



IS"' 



— 120 — 
Or II rapporte en 365 joars r 

1 « .. 1 .. JL 
366 

l " •' Ir " J!L 
365 



Donc aa bout de ce temps tl devient /"l + il^ 

^ . V 366 y 

et A(l+r)" devient au bout du même temps 
X-A(l+r)n(l+g^) (2) 

324, Les formules (1) et (2) nous permettent de calculer 
une des quatre quantités A. X, i eu n, les trois autres étant 
connues. ' 

De (1) on tire successivement : 

(3) (4) (5) 

325. Problème X-Quelle est la valeur après n années 
d un capital A placé à intérêt composé et au taux r ? 

La formule (I) donne X-Ad+r)" 
application: n'- 7 ans; A=12540 i--5<>/o 
X=12540 (1+0.05)' -12540 (1.05)' 
log X=log 12540+7 log 1.05 
log 12540-40982975 
7 log 1.05=0.1483251 

log X = 42466226 
X=S17645,04 
Problème II.-Qaelle somme fuut-il placer à un taux 
donné r pour obtenir nne somme X après -n anifees ? 

X 



La formule (3) donne A= 



Application : X " 24600 ; 
24A00 



(l+r;"" 
n-12;i=4.75. 



A= 



(1,0476)" 



— 121- 

log A=log 24600—12 Ior 1,0475 

Iog24B00= 4.38 135' 

12 log 1,0476= 0,2..i8480 



log A= 4,1490871 A=8U095,70 
Problème m.— Un capital a été placé aujourd'hui, il 
produira une somme X dans n années. Quel est le taux de 
l'intérêt ? 

La formule (4) donne (l+»')=\/x 

Application : A=28895 ; X=250000 ; n=73 

"/âsôôôîi 



\ 288B5 



log (i+^)^!2Kil»000-loff2f«95 

log 250000=5,3979400 
log 28895=4,4008227 



0,9371173 



, ,, , . 0,9371173 

log (l+r)=-i-;j^^ — =0,0128372 

(l+r)=l,03 r^0,03 i=3»/o 

Formules de placement ou de dotation. 

Problème IV.— Une personne place chaque année une 
somme a à intérêt coiiipo.sé, pendant m uiinéus. Le tuux 
étant r, quelle somme cette per.soiine retirera-t-elle au bout 
du temps déterminé ? 

1" La somme est placée au commencement de l'année. 
La somme a, placée %u commencement do la 1*"" année, 
devient a(l+r)"au bout de n année.s ; 

La même somme, placée au commencement de la 2« année, 
devient a (l+r)"»-' au bout du temps du placement, et ainsi 
de suite 



— 112 — 

La 8uniine a, pfaeue au coinmenceinent de ravant-durnière 
•t de la dernière année, correspond respectivement à a(l+r)' 
eto(l+r). 

Le montant total est donc 

S=orl+r)»+a(l+r;»-'+a(l+r)n-»+....+«(l+r) 
, 8=a(l+r)[l+(l+r)+(l+r)'+....(l-r)"->+(l+r)»-'] 

2» La somme a est placée à la fin de chai|ae année. 
La suite sera : 

S=<i (l+r)"-i+a(l+r)" »+. . . .o(l+r)+o 
S=o[l+(l+r)+(l+r)V . . ,+(l+r)"^+(l+r)n-i] 
■ a[(l+r,-'(l+r)-l aUl+r',''-U 

i+f—\ ' ;; (') 

Remarque I.— Les formules (6) et (7) se déduisent l'une 
de l'autre, car il est facile de voir que 
S=S'(l+r) donc 

S' « 

Remarque H- Les élèves confondent souvent cette 
question de placement ou de dotation avec la question des 
annuités. 

On doit, à la rigueur, appeler annuité tout versement fait 
annuellement quelqu'en soit le but ; mais, on réserve plus 
spécialement ce nom à l'usage qu'en indique le paragraphe 
suivant. 



§ 2.— Des ANNurrÉs. 

8SW. On entend, d'une façon générale, par annuité le 
paiement annuel au moyen duquel l'emprunteur éteint to 
dette, capital et intérêts, au bout d'un certain nombre 
d'années. 

L'annuité entendue dans ce sens, c'est-à-dire comme rem- 
boursement s'effectue toujours à la fin de l'année. 



— 123 — 

Si l'on puio annuellement une rente qui i^urpiuge l'intérêt, 
on diminue peu à |>eu m dette et l'c.n parvient k s'en libérer 
oomplèitenient au bout d'un temps pluH ou moinii long. C'««t 
cette sorte de rentes qu'un appelle rmteê à termen on 
annuités. La portion de l'annuité (somme payée annuelle- 
ment) qui représente un acompte sur le capital emprunté 
s'appelle amortissement. 

Exemple : Une somme de 334600 empruntée pour SI ans 
est remboursable par annuités de «l6<)0,S(i, l'intérêt étant de 
4°/,. 

La partie des |l(iO0,5(i, qui représente un acompte sur la 
somme de I34G00 empruntée, est V(imortM>iement. L'autre 
partie correspond à la portion annuelle de l'intérêt. 

Ces deux parts ne sauraient être fixes ; elles varient d'une 
année à l'autre pendant le remiioursement, mais leur somme 
est tixe : •1600,5(> dans le cas" de l'exemple. 
Les annuités sont variu'iles on âxeit. 

Les annuités variables consistent en paiements annuels 
différenis. Les .seules variations d'annuités qui offrent un 
intérêt pratique sont celles qui ont une base Kxe ; les annuités 
irrégulièrement variables ne constituent pas un mode spécial 
de remboursement. Un exemple tria simple d'annuités 
régulièrement variables est celui où l'annuité se compose d'un 
amortissement fixe et d'un intérêt ilécroi-sant. 

Les annuités Jixes sont des paiements annuels toujours 
égaux, au moy,a desquels on amortit, au bout d'une certaine 
période de temps, un emprunt fait à un taux déterminé. 

En langage iinaneip:', on appelle amortissement l'ensemble 
des institutions et des opérations qui ont pour but d'éteindre 
une dette publique. 

Dans un sous restreint, il s'applique au système de rem- 
boursement qui repose sur l'emploi de l'intérêt composé. 
827. Formule générale. 

Uuef personne emprunte aujourd'hui une somme A pour 
n années au taux de r pour 1 piastre (i»/o) ; pour s'acquitter, 
elle paie, à la fia de chaque année, une somme déterminée X 



— 124 — 



ealeolie de insniire qu'après n paieinanU ignax k X, elle ait 
remboursé capital et intérêts compris. 

Si l'emprunteur attendait la fin ilo la n' année pour opérer 
le remltoumeiiient, il devrait k cette épo(jue, en vertu de la 
formule des intérêts composés : 

A(l+r)» 
Mais il paie, k la Hn de lu 1*" année, une première somme X ; 
il avance donc ainsi le renibouraement partiel de (n-1) années. 
Or, pendant (n-l) années, cette somme X aurait produit 
X(l+r)n-i. Il libère donc sa dette de X(l+r)" ' et il ne 
doit donc plus que : 

A(l+r)"-X(l + r)'»-' 
De même, la somme X pay^e à la fin de la 2° année, libère 
l'emprunteur d'une somme équivalant, au bout de (n-2) 
années, à X(l+r)»-»;il ne doit donc plus, au bout de la 
2* année, que 

A (l+ry>-X (1 +ry-'-X (1 +r)">-> 
et ainsi de suite ; de sorte qu'à la fin de l'avant-dernière 
année, il renibousera une somme X qui vaudra à la fin de la 
dernière année X(l+r). Enfin, à la fin de la dernière année, 
il rembourse X et sa dette est épuisée. 
Donc on peut écrire que : 

A(l+r)n_X(l+r)»-'-X(l+r)--! X(l + r)-X=0 

A(l + r)"=.X(l+r)"-' + X(l + r;° 2+....+X(1 + t) + X 
A(l+r)"=X[{l+r)n-i + (l ^r)''-^+ . . . .+(l+r)+l] 
La quantité entre crochets est la .somme des termes d'une 
progression géométrique dont le preiriier terme est 1, le 
dernier (l+r^n-', et la i„.son (1+r). (No2!)l) 

S= '''~'' = Ojtlïll^i^JStz}. = (' + '•)■'-' 
°°î-l (l + r)-l ? 

D'où: 

,(l+r)n_i 



A(l+r)"' = X: 



d'où enfin : 



X- 



, Af (1 +r)» 
'(l+r)a— 1 



(1) 



— 118 — 

Cette formate permet de trouver une dei quatre quantité* 
A, r, X ou n lorniu'on connaît les trois autres. 

On remarquera toutefoii que la réiolntion de la formule (1 ), 
par rapport à r, donne une expresKum de (n+1)* degré que 
l'on ne peut rénondre que par des procédés particuliers. 

On arrivera à une valeur suffisamment approchée de r par 
' une suite de tAtonnements convenablement dirigés. 

32a Problème I.— Quelle annuité X faut-il payer à la Un 
de chaque année pour amortir en n années un emprunt 
donné A et ses intérêts composés, le taux étant de r pour II 1 

La formule (1) donne X- ^,^li'2l 

lo(Ç X""loj( A.*\ogr^n log (1 it) -log[(l *r)" 1] 

Application : A— 34680 ; n=b\ ans ; t=4''/„ 
Calcul de (1 t^r)"— 1 

log (1 +r)°=n lojf (1 +r)-51 log (1,04)-0,8886D»8 

(l+r)'"-7,3f)09 ; (1+r)"'— 1-6,3909 
3 IBOOX 0,(14X7.3909 



X. 



-11600,56 



«,3901) 

Problème II — On emprunte aujourd'hui une somme A au 
taux r et l'on veut la rembourser au moyen d'annuités égales 
à X. Pendant combien du temps devra-t-on payer ? 

La formule (1) donne : 

X— Ar log (1 + r) 

Ce problème n'est possible que si (X— Ar) est positif, car 
les nombres négatifs n'ont pus de logarithmes rébij. 

Si X=Ar, la formule devient n— -^ — ~" ^ 

10(5 (l+r) 

et comme log — — x on en déduit : 

log X— ( — 00 ) _ lotf X .1- g) _ 

"~ logO+r; ~log(l+rj ~* 

Donc .ti X=Ar, c'est-à-dire si l'emprunteur ne paie, à la fin 

de chaque p.. lée, que l'intérêt simple du capitrl, il doit 

toujours le capital et sa dette ne s'éteindra jamais. Ce cas 

est celui des rentes perpétuellea 



I 



•it 



Applieation : A-!600CO ; X-IOQOO ; t-8.J«»/. 
„^ '°k3C— loic(X— AD _ log 1 0000 -log 1650 
" Ion (1+0 " log 1,0325 

loK 10000-4.0000000 
log 18aO» 8,ll)08817 ' 

0,8096A83 
loK 1,0S2S-0,0138P01 

0,H0M683 

On devrm donc effectuer 58 annuité» de 110000 plus 
29 
le» jijjj- d'une annuité loit 12000 

Problème III— Quello nunime A peut-on emprunter au- 
jourd'hui en o«"r«nt île la rembourser en » annéee, par 
annuités éj^alee à X, le taux éUnt de r ? 

La formule (1 ilonne A='HiiJ:^2H=lJ 
r(l-(-r)n 

Ap])lication : X=825 ; n=37 ; taux 4"/„ 
Calcul de O+ry 

« log(l-|-r)=a7 lug(l,04)-0.«302321 

(l-(-r)»=4,2C81 

(l-l-r)»-I-3,2»i81 
r>x 1 A 8-'8X3,2B81 

^*"'°" ^-MÎx4;2ii81-»»"92,80 

§3.— Moment ou époque moyenne. 

829 Plua- urs .-omme» sont payables à des époques diffé- 
rentes, et on veut les fondre en une seule payable à une 
époi]Ue déterminée. 

Quel sera le montant de cette somme ? 

Il faut tout d'abord ramener toutes les sommes k une 
même époque, luijuelle peut d'ailleurs être choisie arbitraire- 
ment 

Soit une sonmie de 15000 payable au bout de 5 ans 
et " " " 4000 " < 3 « 



— m- 

ou damcnde qn*ll« loinroe X il ftodra Tcnar m ixmi d* 7 «m 
pour payer, à cette époque, lei deux loroinei eniemble, le Uu 
ituit de *'■/, 

Le capital $8000 vaut aetuellemant [voir formule (8) dea 
intérêt) compoaéa]. 

5 000 

Ô.04)» 

De mjme 14000 valent aetaellement 

4000 

(104J* 

La somme X vaut actuellement 

X 



Il l'unauit quo : 



tI04)' 



5000 



4(100 



(1.00' "ci.ot/ ■^7057: 
X-5000(1.04)* + 4000(1.04)" 
X=5000,-; 1.0« + 4000X1.12— »9922,«f6 

§ 4.— Escompte. 

330. L'escompte est la Jiminution faite aur un paiement 
en monnaie, lorsque celui-ci s'effectue avant qu'il soit dû. 
Cette remise dépend de la somme due, du temps dont on 
avance le paiement et <lu taux de l'intérêt qui prend ici le 
nom de taux d'eacompte. 

La valeur à l'échéonce .l'appelle valeur nominale et la 
valeur, au moment où l'on fait escompter, s'appelle valeur 
aotuelle, réelle ou oomptant. 

La valeur actuelle d'une dette payable sans intérêt k une 
époque déterminée est donc la somme qui, étant placée à 
l'intérêt légal produirait le montant de la dette au moment 
de l'échéance. En d'autres termes, la somme payable k 
l'échéance fixée doit représenter la somme à payer immédiate- 
ment plus les intérêts de cette Uernihv, depuis l'époque 
actuelle jusqu'à l'échéance indiquée.. 



— 128- 



Iv 



L'escompte ainsi calculée s'appelle l'escompte en dedana. 

L'escompte en deilann d'un billet est donc l'intérêt de sa 
videur actuelle. 

Cette manière de calculer l'escompte, quoique étant la seule 
juste, n'est cependant pas adoptée par le commerce. La 
retenue tpérie est l'intérêt de la valeur nominale, c'est-à-dire 
de la valeur à l'échéance, calculé pendant le temps qui reste à 
s'écouler jusqu'à l'échéance : cet escompte est ce que l'on 
appelle l'eaoompte commercial ou en dehors. 

Dans ce cas, la valeur actuelle sera la valeur nominale, 
diminuée de l'intérêt de cette valeur nominale depuis l'époque 
actuelle jusqu'à l'échéance indiquée. L'escompte en dehors 
comprend donc l'escompte en dedans plus l'intérêt de ce 
dernier et, c'est ce dernier intérêt qu'il n'est pas juste de 
retenir. 

En résumé : 

L'escompte en dedans est la différence entre la valeur 
nominale H la voleur avtu<'lle. d'un billet ; 

L'escompte eu dehors est l'intérêt compté sur la valeur 
nominiUe du hUlet pendant le teyups i/ai reste à s'écouler 
entre le moment du paiement et celui de l'échéance. 

De ce qui précèJe, en peut établir le tableau suivant : 



Escompte en dedam. 

 Valeur nominale 
A' Valeur actuulle 
Ë' Escompte 

■* ^+100 

100 A 



A' 



100 + it 
E=A-A'= 



Alt 



Escompte en dehors. 

A Valeur nominale 
A' Valeur actuelle 
E Escompte 

E=AiL 
100 

A'=A-E 



100 fit 

331. Escompte en dehors. — Formule générale. 

Soit A une somme payable dans t jours. Quel est l'es- 
compte en dehor.i, si l'on veut être payé immédiatement, le 
taux étant de i'/o ? 



— 129 — 



Soit E l'eacompte. 

Nous avons vu qu< l'escompte « t dehors éteit l'intérêt de 
la valeur nominale du hillrit, (Jonc : 

36000 *■ •' 
La somme à payer est donc A'=A- E=A— s^^ 



^■-^O-aiôô) W 



Ces formules (1) et (2) permettent Je résoudre toutes les 
questions relatives à l'escompte en dehors. 

332. Problème.— Vné somme de p720 est payable dans 
3 mois. Quelle est la somme à payer immédiatement, le taux 
de l'escompte étant de 6»/o en dehors ? 

La formule (2) donne pour A— 720 ; i=6 ; (=90 

^•=^^«(-33=^09,20 
L'escompte est donné par 720—709,20=10.80 



Art 



720X6X90_ 
" 36000~-^"'^" 



ou par la formule (1) E= ■ 

^ ' 360U0 

333. Escompte en àeiBOB.—ForrmUt générale. 

Quelle somme doit-on payer immédiatement pour escompter 
en dedans un billet de «A payable dans t jours, le taux de 
l'escompte en dedans étant de i% ? 

Soit A' la somme à payer immédiateinent ; l'intérêt de cette 
somme pendant les t jours qui doivent s'écouler jusque 
l'échéance à isé sera .^^^^r:;^. Donc la somme à payer dans 



360U0 ' 
A-A'-f./"'' 



t jours sera „— .„ 

•^ 36000 

la vdUv,r actVjtUe est : 



^'O+al 



36000^ 



d'où ; 



A'= 



1+: 



it 



(3) 



"^36000 
La valeur de l'escompte en dedans est donc : 

E'=A i:_=A(l L_) ^« 



1+ 



36000 



1 + 



36000 



360U0+it (4) 



^m^^W' 






— 130 — 

Les formules (3) et (4) permettent de résoudre toutes les 
questions relatives à l'escompte eu dedans. 

3a4. ProWème.— Même que celui pour l'escompte en dehors. 

Appliquons la formule (3) en y faisant A— 720 ; i=6, É— 90 
il vient : 

720 



A'=- 



^"''36000 

L'escompte est donc donné par 720-709,36-10,64 ou par 
la formule (4). 

Ai( 720X6X90 



E'-- 



-10,64 



' 36(in«+it ■" 31)000+6X90 

335. Nous avons dit que la différence entre Tescompte en 
dehors et l'escompte en dedans était précisément l'intérêt de 
ce dernier pendant le temps entre l'époque actuelle et le 
terme de l'échéance. 

En effet, les formules (1) et (4) donnent : 

36ÔÔÔ~'360UO+i« " V36000 36000 ^itj 

Alt it kit if ^ K'it 

36UÔÔ^36«00 + i«"'36000 + it ^3600o"36000 
Or cette valeur est précisément l'intérêt à ilt pendant le 
hit 
temps t de la somme 36000 , it = ^' (c'est-^-dire l'escompte en 

dedans. 



836. Application.-U^ deux problèmes précédents ont 

donné : 

Escompte en dehors E=10.80 
" dedans E'=10,64 



E-E- 0,16 



Or 



E'it _ 10,64X 6X90 _^ ^g intérêt pendant 90 jours 
36000" ^60(10 



de l'escompte en dedans à 656. 



CHAPITRE IX. 
OOUPLÉHENTS D'ARITHMÉTIQUE. 



A.— Opérations sur les nombres entiers. 

337. I — Un produit de d«itx factewm renferme autant 
de chifres qu'U y en a dans les detix facteurs réunis ou. un 
de moins. 

Soient A et B deux facteurs ayant respectivement m et n 
chiffres. Je dis que le produit AxB contiendra (m+«) ou 
(m + n-l) chiffres. 

En effet. A ayant m chiffres est plus petit que le plus petit 
nombre de (m + 1) chiffres, et plus grand ou égal au plus petit 
nombre de m chiffres. 

C'est-à-dire 10"'-'<A<10"' 

^« •"«'"« 10-' <B <10n Et, faisant le produit 

10'n+n-»<AxB<10"'+'' 

Ce qui veut dire que le produit AxB est plus petit que le 
plus petit nombre de (m+n+l) chiffres (10">+») : il u donc au 
plus (m+n) chiflires. D'un autre côté, il est plus grand ou 
égal a 10"+n-2, c'est-à-dire le plus petit nombre de (m+n-l) 
chiffres : donc il peut avoir (m+n— 1) chiffres. 

338. II. —Si on effeclai les divinons successives de N par 
a, du quotient entier par b, du nouveau quotient entier par 
o. U dernier quotient entier est la partie entière du quotient 
de N par abo. 

Appelons q q^q, les quotients successif.n et 
r, r, r, les restes correspondants. 



fl 



^?w 



— 132 — 
Noas anrona donc anccessivement : 

g,-bq,+rA d'où l a[b(,cii,+r,)+r,]+r, 
gj-c5,+rj [N=a6cg3+(«6r,+ar,f.-,) (1) 

Or r,, r,, r, étant les restes, on peut écrire que : 
r,<a— 1, rj<6— 1, r,<c— 1 

D'où (1) devient : 

N=a6cg,+<[a6(c-l )+o(6-l)+a-l] 
N=aJ(!'j'^(.<(a6c— a6-)-a6— o+a— 1) 
N=oic3,+<(ai)c-l) 

N 



(•) 



abc 



=?.+<l 



On voit donc bien que q, est la partie entière de la division 
de N par abc, puisque la 2» partie est plus petite que l'unité. 

B.— Théorie des systèmes Dr, numératiok. 

339. Noua avons jusqu'à présent été habitués à faire tous 
les calcula dans le système à base décimale. Nous allons voir 
que ce système n'est pas unique, et que l'on peut faire toutes 
les opérations dans un système à base quelconque. 

340. On désigne sous le nom de Base d'un système de 
numération, le nombre de chiffrea ou figures qu'on emploie 
pour écrire tous les nombres. 

En généralisant le principe fondamental de \r. numération 
écrite du système décimal, on peut dire : dans un système de 
hase B quelconque, tout chiffre placi à la gauche d'un autre 
doit exprimer des unités B fois plus grandes qiie celles de 
cet ouuire. 

34i Dans un système de numération quelconque tons les 
nombres peuvent se représenter graphiquement. 

(•) Non.— Lm indicaition» (+ < ) signifient " plut mu fiuintilé plut pelile 
9« " 



— 133 — 
Soit le système septénaire (qui a 7 chiffres). 

Il a les 6 premiers chiffres significatifs et le chiffre coinplé- 
menteire 0. Si à 6 (qui est 9 dans le système décimal), on 
ajoute 1 unité, on aura 7 (10 dans le système décimal) ou 
1 unité de 2" ordrt qui s'écrit 10 ; augmentant de 1, 2, 3, 4, 
6, 6 ce demi'jr nombre, on aura 11, 12, 13, 14, 15, 16 qui 
vaudront dans le système 7 : (huit), (neuf), (dix).'(onze), 
(douze), (treize). Une nouvelle unité ajoutée à 16(19 dans le 
système décimal) forme 2 unités du 2« ordre ou (vingt) et 
ainsi de suite ; on formera 

21 



22 23 24 25 26 30 

(quinzB) (wize) (dil->ept) (dix-huit) (dii-nouf) (vingtl (vingt-un) 

(3X7) 

34 
44 
54 
64 



31 
41 
51 
61 



32 
42 
52 
62 



33 
43 
53 
63 



35 
45 
55 
05 



30 
46 
56 
66 



40 (4x7) 

50 (3X7) 

60 (6x7) 

100 (7x7) 

On obtient, en opérant sur 100 comme sur 10 • 
101 102 666 

En ajoutant une uniU à 666, on obtie'it l'unité du 4« ordre 
ou 1000 (7»; et ainsi de suite. 

Ainsi, dans le .-.ystème septénaire, tous les nombres pourront 
être représentés au moyen des caractères 
0, 1. 2, 3, 4, 5, 6 

342. Remarque.1.— Les nombres st chiff'res entre paren- 
thèse» sont, dans le système décimal, les équivalents de ceux 
dans !e système septénaire à côté desquels ils sont écrits. 

Remarque II -Si les nombres écrits dans le sy.^. 
tèrae 10 peuvent se traduire simplement en lang.ge ordi- 
naire, cela tient à une connexion intime, exisUnt entre la 
langue et ce système ; comme une semblable relation n'exi-te 
pas pour un système quelconque de numération, il s'ensuit 
que pour une base différente de 10, on est forcé dénoncer 
ehaqno chiflre avec l'ordre des unités qu'il reprédente. 



v^% 



■^ly 



-184 — 



348. Trois problèmes peuvent se présenter : 

1° Traduire un nombre décinuU dans un syatime quel- 
conque (Base B). 

Puisqu'il fout B unités du l" ordre pour former une unité 
du 2* ordre, le quotient du nombre pur B exprime le nombre 
d'unités du 2'' ordre ; le reste, écrit dans le système B, sera la 
figure du 1" ordre. 

En opérant sur ce (quotient comme sur le nombre proposé, 
on obtiendra le nombre d'unités du 3' ordre et le chiffre du 
2<> ordre de l'expression demandée ; et ainsi de suite, jusqu'à 
ce qn'or> obtienne un quotient moindre que B et qui, écrit 
dans la base B, donnera le nombre d'dnités de l'ordre le plus 
élevé (ordre marqué par le nombre plus un, des divisions 
effectuées). 

Si la base est supérieure à 10, on emploie les lettres 
a,h,c,d.... pour représenter les chiffres significatifs ex- 
primant plus de neuf unités. 

344. Exemple. — Ecrire 7843t>5 dans le système onze. 

On représentera dix unités par a ; les figures sont donc : 
0, 1, 2, 3, 4, .5, 6, 7, 8, 9, a 



Tableau des opérations. 








784365 


11 










14 


71305 


11 








33 


53 


6482 


11 






. 065 


90 


98 


589- 


" 11 




10 


25 


102 


39 


53 


11 


a 


3 


3 


6 


9 


4 



Le nombre 784365 du système 10 s'écrit : 
49633a duns le système onze. 

345. H.- Ecrire dans le système décimid un nombre du 
système B. 

Deux méthodes : 

1» Par voie de multiplication.— Cette méthode se résond 
de lu mnnière suivante : on multiplie (dans le système 
décimal) la figure fie gauche par B et on y ajoute le chiffre 
suivant. Multiplier de nouveau ce ré.tultat par B et ajouter 



— 135 — 

au produit la fi(j;ure suivante, et ainsi de suite jusqu'aux 
unités simple» du nombre proposé. 

.Erempie.— Traduire duns le système décimal le nombre 
78456 du système ixeuf. 

7X9-63; 63+8-71; 71x9=639 ; 639+4=643 ; 
643X9=6787 5787+5-3792 ; 5792X9+6-52134 dans 
le système 10. 

2° Par Koi« de rfiwmon.— Cette méthode est identique à 
celle résolvant le problème 344, avec cette différence que les 
divi-ions successives par la base 10 doivent être effectuées 
dans le système B et que les restes sont écrits dans le système 
10. ' 

Soit à transformer par voie de division 78456 de la base 
•neu/dans la base dix. 



78456 
14 
35 
26 

4 



10 



7132 


10 


43 


638 


92 


78 


3 


1 



10 



57 
2 



10 



Le nombre daqs le système 10 est donc 52134. 

La division devant se faire dans la base 9, on dira • 
7x9-63 ; 63+8-71 ; 71+10-7 et il reste 1 ; abaissant le 4, 
il reste 14 qui devient 1x9+4-13 ; 13-1-10=1 et il reste 3 ' 
35-3X9+5-32 ; 32-i-10-3 et reste 2 ; 
26=2X9+6-24 ; 24-=-10=2 " " 4 et ainsi de suite pour 
les autres dividendes. 

348. III Problème — Ecrirt dans U syatime R un 
nombre du système B. 
Il y a deux méthodes : 

1° Trcmsfurmer le nombre donné dans la base 10, puis 
traduire le résultat dans la base B. 

exempte.— Traduire dans le système à base 8 le nombre 
68ai8 du système douze. 



' m 



— ise — 



Tranaformons-le d'abord dons le lyatime dieimal (M» 345 >. 

Par voM de dtvmon. 



far voit de mlUtiplieation. 

8XI2+S-7S i 7SXI2+a=UI0, 
9I0X12+'>=1WM1 

iogsixi2+8»itiis« 



eSoM I g (dii) 

'* 32 93 1 ait 

* * I 1. I 



Le nombre dans la base 10 est : 
131180 à transformer dans la base 8 (problème N" 343). 



31180 


8 










51 


16397 


8 








31 


039 


2049 


■ 8 






78 


77 

a 


44 
49 
1 


256 
16 



8 




60 


32 



8 


4 


4 



Donc le nombre 63a68 de la base onze vaut 400154 dans la 
base 8. 

2" méthode.— Procéder directement par voie de division e-i 
effectuant les divisions par B' dans le système B et écrire les 
restes dans la base B. 

Exemple : Traduire directement dans la base onze le 
nombre 1270170 écrit dans la base 8. 

(onze=13 dans la base 8) 



1270170 
120 
31 
37 
110 

e 



13 (onze) 



77226 
102 
02 
i6 




13 




f6iJ2 


Ï3 


20 
52 


473 
03 



13 



8 



30 
2 



13 



/ 2 I 2 

Le nombre 1270170 de la base 8 vaut 223906 dans la base 
onze, 

^uite du calcul : 1 X 8+2=10 pas divisible par 11 

10x8+7=87; 87-1-11=7 il reste 10 qui 
dans le système 8 s'écrit 12 (car 1x8+2—10) 



— 187 — 

Abaisnnt le chiffre suivant, on a • 
80-1-11 = 7 ilreateS 



120-10X8+0-80; 



25-1-11-2 et rette 
31-t-ll=2 " " < 

72^-11=6 " " 



qui s'écrit II 
>lani l> baM 8 



81 -3X8+1-25 
87=3X8+7=31 

110=9x8+0=72 
et ainii de saite. 

847, Les opérations fondamentales dans un système quel- 
conque, s'effectuent de la même manière que dans la ba .e ;0 ■ 
seulement les reports ne peuvent s'obtenir que par des 
divisions partielles. 

848. Exemple de la mulliplUation. 

Soit à multiplier dans la base ovze le nombre 798a3 par 
2a94 '^ 



798a3 
2a94 

296281 
650345 
72al38 
148696 

217598421 
Calcul: 4x3=12 
4Xa=40 
4X8=32 
4x9=36 
4x7=28 



Le multiplicande est multiplié suc- 
cessivement par chacun des chiffres 
de l'autre facteur et la somme 
(effectuée dans la base onze) de ces 
produits partiels, disposés comme 
dans le système décimal, a donné le 
produit total. 



12-i-a=l reste! 

40+1=41 41-f-a=3 reste 8 
S 
8 
9 



32+3=35 36-f-a=3 
36+3=39 39-Ko=3 
28+3=31 3l-i-a=2 
Pour effectuer la somme des produits partiels : 
1=* 8+5=13+0=1 restes 

4+2+8+1 = 15 15-i-a=l " 4 

6+3+3+6+1 = 19 19-f-a=l " 8 

et ainsi de suite. 

849, Exemf!j de la division. 
^^it à diviser dans U base neufU nombre 643218 ^ par 



-1S8 — 



S«US8 
5784JS 

13133 
7432 

46017 
41371 

4636 



Ln d4tennination du 1" dividende 
partiel ae fait commo dana les uom- 
brea dAcimeaz. lei, o'eat 64321 dont 
l> ûgate de droite indique l'unité 
du 4* ordre pour le plai élevé du 
quotient. 

Enauite, pour obtenir le quotient 
entier de ce dividende partiel par 
7432, on réduit 64 (ayatèroe 9) en 
unitéa déeimalea, et, en diviaant le 
résultat citiquante-huit (6x9+4=58) 
par 7, on obtient le chiffre cherché ou un chiflire trop fort, à 
cauae dea reports des produits iof<>r!eurs du diviseur par cette 
figure. Cette division partielle lîonnerait 8, mais on s'assure 
facilement que cette figure est trop élevée et que 7 eat le 
chiffre des unités du 4* ordre du quotient cherehé, puisqu'il 
donne un reste 6865 moindre que le diviseur. Abaissant à la 
droite de œ reste le chiffre 8, on continue l'opération comme 
précédemment. 

7482X7=67345 En effet : {N° 348) 

7x2=14-1-9=1 reste S 
7x3+l=22-i-9=2 " 4 
7X4+2=30-4-9=3 " 8 
7x7+3=62-1-9=6 " 1 
Soustraction de 64321 - 67345 dans base 9. 
6 de 1 cela ne se peut, j'emprunte 1 unité de l'ordre 
supérieur qui vaut 9 unités simples ; 9+1 = 10 10—6=5 
4 de 1 cela ne se peut, j'emprunte 1 unité de l'ordre 
supérieur qui vaut 9 unités de l'ordre considéré 
1+9=10 ; 10—4=6 et ainsi de suite, en tenant 
toujours compte que 1 unité d'un ordre vaut 
9 unités de l'ordre immédiatement inférieur. 



64321 
57845 

5866 



850. Problème — Comment pèsera-t-on 6863 kilog. si on 
ne dispose que de poids de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6', 6* ... . kilog. 



— I!i9 — 

En oonvertiH.wnt le nombre 686» du Ryntimê 10 dani le 
«yitème rix on trouve 614;J5 

Donc nnr l'un dm plateaux de U bniance devront le 
trouver : 

1 poid» de 6 Icil,, 3 poid. de 6. 4 poids de 6', 1 poids de 6' 
et fi poids de 6* 

1 poids de 6=: fi kilo)(. 

3 " " 6= 18 " 

4 " " 6'= 144 " 
1 " " 6'= 216 " 

5 " " 6* =6480 " 

6863 " 

861 Déterminer la base B du système de numération 
sachant que 523 vaut deux-cent-mixante-dtux. 
B étant la base, 523 peut s'écrire : 
3+2E+5B» = 262 ou 

5B»+2B_2S9=0 Equation du 2* degré qui donne : 

— 2±V/' 4-l-2ox259_ -8±K5Ï84 -2-)-72 
10 10 ÎF" 



B=. 
D'où 



B'4:=^ 



B"= 



M 37 

"10- 5 

B=7 indique que le système cherché est le système aepU- 
naire. '^ 

La valeur de B"= -- doit évidemment être rejetée. 



C. — 1. Nombres premieks. 

362. Théorème I —Si P est premier nvec A. Us (P—1) 
■premiers multipUi, de A 

A.SA.SA (P-l)A (1) 

diviêia par P donnent (P -1) restes différents. 



— 140 — 



Suppotona que Jwis mnltiplM d* A, mit et m'A eboin* 
parmi lei préoMenta (1 ) puitMtit donner dM restât igkux à r, 
par exemple, on ton doue : 

tnA=PQ+r\ ,, . r— mA-PQ 
m'A=PQ'+r/ r=m'A— PQ' et donc 

mA-PQ-m'A-PQ' c. ». d. 

A(m'-în)-P(Q'-Q) donc ^""^^ -Q'-Q (S) 

Or P ett premier avec A ; donc, d'aprèe (S), il doit diviser 
(m' — m) quantité plus petite que P, ce qui est impossible. 

CoroUairt.—Ln restes r, r" /' r'" .... itant différents et 
en nombre (P— 1), sont done les nombres oonsécntifs 
I, 2, 3, 4. . . .(P— 1), mais dans un ordre qui peut être antre 
que l'ordre naturel 

8&S. Théotèma U.—8i P ut premier avec A : 

V Ut P premihia puitaanetB A", A' A' A^-^ 

diviêéei par P donnent au moin» dtuae retUi égoMx à 1 

2° jusqu'à la mpindrt puinance dt A, autre que A', ee$ 
reeteê nmt différents 

8* au delà, ils sont piriodiques. 

1° Les restes de A*, A>, A' AP-> par P sont en 

nombre P et ehaenn étant plus petit que P, deux au moins 
sont é((anx Si done A*" et A"*' sont œs deux puissances 
donnant des restes égaux r, on aura : 

A"-PQ+r1 
A»>-PQ'+r/ A"— A-'^P.'Q— Q) 

A"(A»>-"^1)-PCQ'-Q) 



Am/ Ain'-iii__l\ 

±JL.^ i>-Q'-Q 



On voit done que P divise 

le produit A^CA"»'-"»— 1) et, 

comme il est premier avec A'" 

il doit divieer (A™':^— 1), c'est-à-dire que la division de 

A"'-"" par P donne pour reste 1. 

2" Done, on voit qu'avant d'arriver k A**, il y a au moins 
une puissance A."'-" de A antre que A° qni donne pour 
restai. 



— 141 — 

Soit m— m— n ; âlr» )a «ait* dM pniiMneM davirat i 

A. ^r^!-^''^' AV-^A"-' .( .lor. I.. r.rt« d. 

A , A A . . . .A"-' pur P Miit dimrmU, ear li on pouvait 
■nppoMr que deux pniiwoeeii A»' et A»"<A" de A divi«<w 
pw P donneraient dea reatei égaux à r, on aurait : 

A»-PQ+r^ 

A»"=PQ+rJ A»-A»-P(Q'_Q) et 

A-(A»" •■_l;-P(Q'_Q) ,t,,o„ 

A»"-»' diviié par P donnerait pour reste 1, ce qui eit contre 
I hypothiee. 

3" Enfin li A» diviaé par P donne pour raete 1 on a : 

A»-PQ+1 et on en déduit : 

A«+i-A"A-(PQ+i)A-PQA+A 

A»+t.A- + >A=tPQA+A)A-PQA«+A'et ainei de .uite 

A»- - A«» - ' X A - PQA-+A" C'eat-à^ira que les puissances 
A»,A» + i.A»+«,...A»»-i donnent, étant divisées par P le. 
mêmes restes que les puisnances A" A' A'...A»-> divisées 
par le même nombre P. 

364. Remarque.— Soit A™=PQ+r d'où 

A-^ + 'rzPQA+Ar on en déduit 
quun retU quelconqiu a-oblUnt en mtUtipliant U précéeUrU 
par A et en diviêant le produit par P. 

3S6. ^iJpi»ea<ton. -Déterminer le reste du quotient entier 
de 4"» par 11. 

Or les puissances 4° 4i 4' 4' 4* 4» donnent par leur division 
par 11 les restes successif» : 

14 5 9 3 1 
Donc les puissances de 11 qui sont de la forme 

4«='.4»' + i,4»' + î.4«> + >.4»»+< admettent pour 
restes correspondante 1,4 5 9 3 

Mais 4»«=4»''>'»+»=4»-+' Le r^ste correspondant est 
donc 9. 



— 142 — 

Sfi6. Théorème ni.— iSi A ayant a, b, e powr facUvn 
premiers et «i A^a' 6« c', le nombre des nombre» premiers 
avec A existant depuis 1 jusque A sera 

af-i yt-i c<--' (o— 1) (6—1) (0—1) 

En eifet, les seals multiples de a de I à A sont : 

Aa A 

a, Sa, 3a, 4a ... . A ou — en nombre — 

a a 

En les supprimant, il reste de 1 à A 

A — _ =An j nombres premiers avec a 

De même pour 6 ; il existe -r- ( 1 j multiples de 6 et 

en les supprimant, il reste de 1 à A 

premiers avec a et 6. 

On trouvera de même qu'il reste : 

Afl J (l jj (l j nombres premiers 

avec a, b, e 

ou Af j (-7-) (-^J (1) Et en remplaçant A par 

sa valeur, il vient : 



-'^K^)(^)(^) = 



oP-i69-»c-»(o-l){6-l)(c-l) (2) 
3fi7. Exemple. — Combien y a-t-il de nombres premiers 
avec 720 entre 1 et 720 ? 

720=2* X 3' X 5. Il y aura donc d'après (1) ou (2) 

-1 ( — - — 1 ( — 5 — 1=192 nombres premiers 
' ^ •* ^ ^ ■* ^ avec 720 



720 ( 



IL— Caraci'èbes de divisibilité. 

SSd. Théorème I. — Dana tout syutime de numération, le 
reste de la division d^un nombre par un diviseur d qudcon- 
que de S^ (B étant la base) et le même que celui de la divi- 
rion far ideUt tranche de m chiffres de droite. 



m 



■ ' ' 1 »..,ji!y ' Mit.i!!irii;,.jii);u;ij;ii,.H; 



— 148 — 

Soit N un nombre et appelons s, b, c, f. . .le» valenrii >b«o- 
lues des tranches de m chiffres de droite à gauche : 

N=. feba de sorte que : 

N = a + B"'6 + B«"c + B'"/'+ c. a. d 

N-a+Bn>(6 + B"'c+B*»^+ ) (i) 

Or la partie B'"(b + B-c + B*»f+ . . . . ) du 2« membre est 
un mnlliple de d, donc divisible par d. 

Donc )e reste de N par d est le même qae ceini de la partie 
non divisible par d. 

869. Théorème It-Dans tout syathru de numération 
le reste de la division d'un noml/re par un diviseur d quel- 
conque de (B«>-1) (B étant la hase) est U mime qu« celui de 
la somme des tranches de m chiffres de droite à gauche, par 
le même diviseur A. 
Soit encore N=»o + B"'6 + B*"c + B'"^* .... 

Ajoutons et retranchons a + h + c+ il vient : 

N=a+B-t + Ba»c + B3"y+ . . .a + è+ c + f—a-b-c— 
(i) N=[4(B"'— l)+c^B2■"-l)+/•(B^>>■-l)+...]+ 

(a+b+e+/+....) 
Or d divisant B"'— 1, on en tire 

B" = dQ+1 d'où B«'»-(ciQ + l)B"=dQB» + B" 
d'où BS™=iiQB">+<iQ+l où 

B»»_i =dQB».+dQ - d(QBn' + Q) - dQ- ce qui indique que 
B»"— 1 est divisible par d et ainsi de suite. Donc la premiire 
partie du second membre de (2) est divisible par d ; donc le 
reste de N pas d est le même que celui de la partie non divi- 
sible par d, c'est-à-dire (u+b+c+f ) 

£60. Théorème Ïli.—I)ans tout système de numération 
le reste de la division fVun nombre par un facteur d de 
B^+1 (B=basej est U mMe que celui par d de la somme 
des tranehes de m chiffres de rang impair swr eeUe des tran- 
ches de m chiffres de rang pair, en commençant par la droite 

Soit encore N=o+B'"6-fB»™<!-fB*»/+ .... 
qu'on peut encore écrire comme dans le théorime U 



"^ 



"^^ -'t; T^ 'w aw '^i*''^^*? 



— 144 — 

(3) N=[6(B"'+l)+c(B«™-l)+/(B*»+l)+. . . .]+ 

(a_6+<!-/4-....) 

Or B'»+l=dQ d'où B"=iQ-l et B'«'=(dQ-l)B" 
D'où B«"=B"»dQ-B'»=B'»(iy— dQ+1 c. ». d. 

B»"-l =dQB">— dQ=d(B">Q-Q)=iQ' 
qui montre bien que (B*°— 1) est divisible par à. . 

De même B»"=B»»B»>={B"'dQ-dQ+l) B™ 
=B«"(iQ-B™(iQ+B°>= 
=B»°dQ— B">dQ+d9— 1 . d'où 
B»"+l=<i(B*"Q-B">Q+Q)=dQ" qui montre 
que B*"+l est divisible par à et ainsi de suite. 

Il s'ensuit que la 1'" partie du 2* membre de (3) est 
divisible par à, donc le reste de N par i est le même que 

celui de l'autre partie par à, -^'est-à-dire de (o— 6+c— / ) 

861. Théorème VJ.—Dxna tout êyithne cU numération, 
un facUur d de (mB+1), B étant la base, est diviseur d'un 
nombre, lorsque l'excès du non^lire d'unités du second ordre, 
«w Je «ombre formé par m fois la figure ih droite, est 
mAïUipU de à. 

Soit N un nombre et désignons par a le chiffre de droite et 
K' le nombre d'unités du second ordre ; on aura : 
N=N'B+a (1) 
Ajoutons et retranchons (mBo) au 2« membre de (1), il 

vient : 

N=N'B+a+mBa— mBa 
N=B(N'— 7m»)+o(mB+l) 

Or, a(mB+l) est divisible par d par hypothèse, donc N sera 
divisible par d, si (^'—ma) est divisible par d. 

a63. Théorème V.—Duns tout système de numération, 
un /acteur d de (mB—1), B étarU Ut base, est diviseur d'un 
nombre, U/rsrtue le nombre d'unités du second ordre aug- 
menté de m fois le chiffre des unité», est mvUiple de 4 






^1*^ 



\ ; 



— 145 — 

Soit a le chiffre des nniU'i et N' le nombre des unités du 2* 
ordre do nombre \. On aura. 

N=N'X B+« et comme précédemment 
N-B(N' + ma)-(mB-l)a 
Or d divise (toB— l>t ; donc N sera divisible p\r d ai 
(N'+wio) est divisible par d 

D.— Détermination des diviseurs simples et composés 
d'un nombre. 

Iieur nombre et leur somme. 

363. Soit N un nombre dont on demande les diviseurs sim- 
ples et composés. 

Appelons a le moindre facteur premier de N (supposons 
que ce facteur y soit contenu n fois) et N" le dernier quotient ; 
on aura : 

N=a'> xN' 
Soit b un autre facteur premier de N ; pnisque 6 divise N 
et divise a" XN' et, comme il est premier avec u, il divise N'; 
et si îî' contient p fois le facteur b, on peut écrire 
N'-6pxN" donc 
N=o"5pxN" 
De même, si c est un troisième facteur premier de N, il de- 
vra diviser N" et supposons qu'on ait 

N"-ciXN"' on aura 
N=«n bftflx N"' et en6n si N"'-ci'- 
il vient : îi=a''bvc^d' 

On peut donc dire que a, b, c, d, sont les seuls facteurs pre- 
miers simples admis par N. 

884. Formons les facteurs composés. 
Considérant le facteur a, on peut dire que 

1, a. a^ .a' a" sont des diviseur, de N en nombre (fJ+l) 

De même l,b,b- ,b^, b" sont des diviseurs de N en 

nombre (p-l-l> 

Chacun de ces derniers multipliés par les (n-H) facteurs 
précédents donne aussi des facteurs de N. 



ÉÊ 



-146 — 

Lw prodaits 

(1+a+a* +a> + a»Xl+6+6« +6» +. . . .6p) donne done 

tous cet factears. 

En multipliant les produits préoédenU par les factears 
1, c,<!» , c> , co, chacun des termes du produit • 

(l+o+a« +, . . .a» Xl+6+ft« +. . . .6p)(1+c+c" +. . . .cQ ) 
est un diviseur de N. 

Enfin en considérant le dernier facteur d, chaque terme du 

(1) (1+a+a» +...0» ) (l+fc+J! +...6P ) (i+c+c» +...flq ) 

sera diviseur simple ou composé de N. 

Le nombre d. s facteurs de N est donc : 
pour le faci«i>'. i, (n+l> facteurs 
b,(p+l) 
;; '■ • e. (9+1) - 

d, (r+1) " et le nombre total sera 
(2) (n+lXp+lX<î+l)(H-l) 

Si on fait la s(.mme des termes de chacun des facteurs de 
1 expression f 1> [somme des termes d'une progression géomé- 
trique], on obtient : 



(3) 



S 



«■■+'— 1^6" +1—1 00 + 1—1 d>-+i_l 
■X-: — ^X ^X 



a— 1 '" 6— 1 'V (,_x '^ ^_i 
865. Exemple —Déterminer les diviseura simples et com- 
posés de 12600 et leur somme 

12600=2'x3!X52x7 
D'après (2) le nombre des diviseurs est donc 

(3+l)(2+l) 2+l)(l+l)=72 
D'après (3; leur somme c 

a_2*— Iv 3»— 1 53—1 7i_i 

E.— Des fractions PÉRiODi^uEa 

866. Théorème I.- Toute fraction ordinaire irréducti- 
U», dont U d&nomiiMteur D ne contient pas d'autres facteurs 
premiers que oeucc de la base Beat aonvertiUe en une eœpres- 



i; 



-147- 

non dont le» chiffres, exprimant îles unité» de B en B foia 
jAus petites, «ont en nomhre limité, et indù/tU jmr le plus 
haut quotient entier exaot ou -xir exoda des exposants des 
facteurs de D, divisés par les . xposants d^s mêmes facteurs 
de la base R. 

Soit une fraction irréductible g et supposons que la base 

B contienne les facteurs premiera h, c, d, un nombre tel que 

Suppoîicis aussi que le dénoniinuteur U contienne les uiê- 
mes facteurs h, c, d en nombre tel quH 

Soit r le plus haut ([uotient entier exact ou par escès de 



de sorte que l'on ait n'-Cnr ; 



Alors en multipliant la fraction 



p'<pr ; i{<()r. (1) 
par une puissance r de 



la base, il vient : 



Valeur entière, puisque le numéra. 
teur est multiple de D en vertu de 



(1). De plus B' est la moindre puissance de B par laquelle 
il faut multiplier !e facteur pour obtenir un quotient entier ; 
car, si en multipliant seulement par B"— ', le numérateur 
de la nouvelle fraction contiendra au moins l'un des facteurs 
à une puissance dont l'exposant serait au moins inférieur de 
une unité à l'exposant du facteur analogue de D et le quotient 
ne serait pas entier. 

Donc après r opérations successives, la division sera termi- 
née et elle ne peut l'être avant. 

387. OoroUaire. — Toute fraction ordinaire irréduetible du 
système décimal, dont le dénominateur ne contient pus de 
facteurs premiers différents de 2 et 5, donne lieu à une fraction 
décimale composée d'un système limité de chiffres et dont le 
nombre est le plus haut exposant de 2 et de 5 dans le déno- 
minateur. 



— 148 — 

b «ffM, poar B'&xa-tx5-10 

nsp_l 
et r devient égal à la pins hante valeur de n* et p', c'est-à- 
dire 1. 

868. Théorème II. — TmUe fraction ordinaire irré- 
duetible dont le dénominateur D contient d'avireê fattewra 
premiers que ceux de la hase B, donne lieu à une expression 
dont let chiffres exprimant des unités de B en B fois plus 
petites sont en nombre illimité et sont de plus piriodit{iies. 

Car, en multipliant le numérateur N par B, B", B' on 

n'introduit pas dans N les facteurs étrangers à la base, qui 
existent an dénominateur ; et par suite le quotient de N par 
D ne sera jamais entier Donc le nombre des chiffres est 
illimité. 

De plus, le quotient est périodique ; car chaque reste devant 
être inférieur à D, on devra au plus tard à la (D— 1)« division 
après la virgule, retrouver un reste déjà obtenu, lequel suivi 
d'un zéro, forme un quotient obtenu précédemment et ainsi de 
suite. Donc la suite est périodique. 

Remarque. — Les fractions périodiques sont dites simples 
ou mixtes suivant que la période commence ou non au 
premier chiffre à droite de la virgule. 

368. Théorème m.— Toute fraction ordinaire irré- 
ductible dont le dénominateur ne contient aucun des facteurs 
dit la hase, donne lieu à une fraction périodique simple. 

N 
Soit ^ une fraction irréductible, D ne contenant aucun des 

facteurs de la base, et supposons que cette fraction ait donné 

naissance à une fraction périodique mixte. 

O.x'y'z't'xyztuxyztu 

La théorie des fractions périodiques (159) nous dit que 

N x'y'z'fxyztu—x'y'z't' 

I>~ aaaaaOOOO 

o itaot le plus haut chiffre significatif de la base B 

o=B-ï 



■■ 



— 149 — 



Siippoaont que cette fraction rtdaite à m pliu limpU 
exprassion donne une fraction tt, . On aura alora : 
N N' 

Or cou denx fractiun.s sont irrédnotiblea, donc il fant qoe 
N=N' avec D=D' 

Or IKD" est impossible, puisque D' contient des facteurs 
n'entrant pas dans D, , 

Ainsi la fraction étant périodique, ne peut être que 
périodique simple. 

370. Théorème IV.— Toute fraction irréductible dont le 
dénominateur, outre les facteurs différents de ceux de la baae^ 
contient tien diviseurs de la base, donne lieu à une fraction 
périodique -mixte dont la partie non périodique est composée 
d'autant de chiffres qu'il y a d'unités dans le plus katU 
quotient entier ou par excès des exposants des facteurs de la 
base entrant dans le dén^yniinateur, divisés par les exposante 
des mêmes faclews de la hase. 

N 



Soit la base B=6"cPfi"" et soit ,-r 



la fraction contenant, 
dans le dénominateur D outre les facteurs 6, e, c{ de la I 
d'autres facteurs représentés par D' 

N K 



Alors 



D'é">'<;P'<?i 
Soit r le plus grnnd quotient entier ou par excis des 

rapporta — ■ — . — 

n p q 

O'abord la fraction «st périodique mixte, car si elle était 

simple, on pourrait avoir 

N xyztu N' 



étant dcç; fractions irréductibles, dn doit 
avoir N=N' avec D=D" 



r. N . N' 
Or ïjetjp. 



M 



m., 



— 150 — 

, Or D=D" est impossible, parce que D et D" ne oon- 
tiennent pas les mêmes fucteurs premiers de la Use. 

Ensuite, si la partie non pério(lii|Ue ne se composait qne de 
(r — 1) chiffres, on pourrait avoir 

N _ N- 

Alors, en réduisant cette fraction à ses moindres termes, 
son dénominateur renferme un de» facteurs h, c, d de la basé 
B à une puissance moindre que dans le dénominateur D delà 
fraction irréductible égale ; ce qui est impossible. 

On verrait de nit'inB que lu période^ ne peut commencer 
aprèa (r+l) chiffres ; donc, elle débute dès le (r+l)« chiff're 

F.-NOTES SUK I.A RACINE CARRÉE. 

371. I.— Valeurs successives ieJs. 

Lorsque l'N est obtenue avec une première approximation, 
on peut se servir de ce premier résultat pour en obtenir un 
second, plus rapproché de j/N ; ce dernier résultat sert de 
ba.se àuu troisième et ainsi de suite. 

En effet, soient a une valeur approchée par défaut de t/N 
et Isa partie complémentaire telle que v/N=«+a; 

Alors N^(a+a;)'=a'+2iu!+a;' 

et en prenant pour première valeur approximative 

N=o'4.2(«a; d'où 

N a' , , 

et alors par excès 



A/N=«-)-ir= 



a+ 



N-tt' 



fis— a" rt»+N 1/ ,N\ , 



2a 

„ ., , , ,?«, "^« «* ^v, «■ 

boit b le second resnlt.it approché et x' la valeur complé- 
mentaire par excès, on auia donc : 

^N=-(6-a:!') ou N=h'-2a;'6+a!'' et approximativement 
^~f>' — 26a,' donnant x' pur défaut 

x'= et alors par excès 

JfJ-ffr y-NN 26'-fc-+N ft'+K 1/ NX 



■ 



— 181 — - 

De Diême'v/N'^re+— ] et ainsi de suite 

Ï7a Théorème.— iSfi A et B ont un même nombre (U 
chiffre» et qtu pltu de la moitié de leur» chiffrée loient 
commune à partir de la gauohe, on a : 

^A-^b4 et ^^^AB<^ 

1° En effet, le nombre de chifires de la différence A h 

étant par hypothèse moindre que la | du nombre des ehifires 
de B, on a : 

A-B<^B ou (V^)-(V^)'<V'* 

Wa+^b)(^a-^b)<^b d-où 

;a-Jb< V° 

-»i r^ étant approximative' 
2 Lb 



Or 



Jl^.. 



V*+vl> 



ment ■ 



1 



Il vient donc •WA— «/b=<= 

2° De ^A— »/B< -, il vient en élevant an carré : 

A— 2JaB+B<^ ou 

A+B-2^AB<? et è±2_^lAB<J 

Ce théorème est d il à M' J. Vieille, maître de conférences 
à l'Ecole'Norninle de France. 

373. II. — Bacine carrée pan vole de divUion 
Théorème. —Zu moitié plue un du nombre dus chiffre» de 
la partie entière de y^N étant trouvée, on oljtient le» autrr» 
en divisant le reste totai par le double de la valeur reliitive 
de la paHie déterminée à la racine et l'erreur eet moindre 
que deux. 



— 168 — 

SuppoNoiM que |/N xuit compnwSo cl'une paHie entière de 
(2n+l)ohiffre>i;eii JéitignHnt par n la valeur alMolue du 
nombre fermé par les (n + 1) chiffrcH de gauelie, par x la 
partie entière complémentaire de j- N et par B le reete ; ou a : 

N-(aX10"+a;)'+B-(aXI0n)'+2(aX10")<r+ie'+R 

j._ N-(aXlOn)l_j;i_R _ y_(jx|On)t r 

2t.aX10°) ~ 2(a'xTÔ=ji \jî(, 



2(aX10") 
— B_l 

20lxlOn}J 
Appelons q le quotient de R" le re«te de la division de 
N— (aXlO»)" par 2(nXlO»), il vient : 

f_?! r ^' I R 1 

2iaX10") L2(uXion/2(aXlCn)J" 
R . te" H' 



*"«+s 



a)=j. 



-t. 



,] 



L2(rtXlon) 2(axi0n') 2(oxlO"). 
Or R étont le reste de la j/N, le maximum de B vaut 
2(aX10n+aB), car la différence enti-e les carrés de 2 nombres 
consécutif* vaut l'unité augmenté du double du plus petit 
nombre, donc le reste vaut au maximum cette valeur dimi- 
nuée de 1, c'est-à-dire le .louble du plus petit nombio. Donc 

-L2(axl0.) "^2(«xi0n)-2(axl()r)j °° 

.i-='/-<ri+ — ^-r—+-~ 5L_n ' 

^L (aXion^ 2(axi0"') 2(aX10n)J 

Or i/N ayant (In+Ï) cliittres ' « en ayant («-t-1), il sen- 

snit que X a 2«+l-,i_l-n chitt.us. Donc x ext plus petit 

que le plus petit nombre de (ii+\) chiffres c. a. d. k<10» et 

aussi pour cette i-ai-ion a>10» c. a. d. (oXlO" ;>10a> 

Doue enfin : 

lO" 102n R- 



«-=?—<[ 



1+. 



J02" ïXlOi!" 



»-?— < 



IH^*Ï)- 



] 

2X10»'' J 



2M0«" 
B' 



— 153 — 
deax mambrM - il vient 



1 1 , 

-ïôir+2<» 



donc enfin 



e. q. f. d. 



^. B. Les ligfnea (-<) et (-<) s'énoneent : 
" moine nne quantité plue petite que „ et 
" moine une quantité plue petite ou égale à „ 

814. AppUoation.— Déterminer (/3 avec 8 décimales 

3000000000000POOO 1 1.7320(^+1 de. chlftre. d. I. /S) 

*"* 1 27 1 343 1 8462 134«4 

189 

1100 
1029 

TlOO 
6924 

17600 

176 00 00 00 00 00 I 3464 00 00 
173 20 00 00 



Reste 



280 00 00 000 
2 77 12 00 00 

2 88 00 00 00 



sono (4 chiffres de droitr de j/3). 



Le reste étant > 5080 la racine eat donc 
1/3-1,73205080 

par défaut, avec une erreur moindre que 1 unité décimale da 
8' ordre. 



— 154 — 



O.— Nom SUB LA KAOWB CDBIQCI. 

I. Valaun «uooamItm da^N. 

9n. Il arrire wavaiit qoe l'approiiin*(ioii de fN n'ait pM 
itét, «Ion toDt l'inUrét d« la qoMtioa m rMait i obtenir dM 
v«lran da plu an pliu rapproeh4ea ; dans ea eu on pant opé- 
rer eomma ic<t : 

8k>it a une vtlanr approehée de ^N et lolt (a+x) la va- 
lenr eomplita demandée. On a alori 

N»(o+a!)'-o'+8o'a!+3aa!'+a!' on, comme première ap- 
proximation a* et x' étant trèi petit* i 



Nsia'-fSa'fc d'où x^- 



N-o' 



Sa' 



et alors 



^'N— o-l-a!— o+ 



N-g' Sa'-J-N— tt- 2a•-^N 2/ , N\ , 

~S^' 8?- 8^7—3 r+2?j='' 

Cette quantité eit une valear approchée de ^N par excèe, 
et l'on peut poaer f^Na>6— y et alors 

N-(6— y)"— *•— 86"y-t-36y*-y' ; et y' et y' peuvent être 
négligée oomme très petits, on a pour 9fi» approximation 

N-6'-85'y d'où y=-— î et enfin 

valeur par défaut et ainsi de suite. 

Cette méthode a, sur celle analogue pour la racine carrée, 
l'avantage de donner des résultats altemativemeut par excès 
et par défaut, c'est-à-dire de fixer l'approximation ; car, si 
deux valeurs successives ne diffèrent, par exemple, qu'à par- 
tir de la 8* décimale, on serait en droit d'affirmer que les 
7 premières décimales' sont exactes. 

N. B. Ce procédé, et celui analogue pour la racine carrée, 
sont d<ka à M' Buxkajid de l'Institut de France. 



— 16S- 
11— Raciki ccm<iuï par voie de ditinion. 

m. Théot*m».-U vxoUié plu» un, du nombn « . 
ehxjfrtê de ta partie tnlièn de fN étant trouva, on obtient 
Uê mivanU en divimnl U ntte total par U tHfOe catW tU 
la valeur rtlaliw de U partie d^à déterminée à la racine et 
l erreur eM inoindre çuc trola. 

Sopposon, qoe rN suit coinpo.*., à » partie «ntière. d« 
(2n+l. chiffre» ; en déiignant par u la valeur abeolne du 
nombre formé par le. (n + 1) figure, de gauche et par as le 
nombre complémentaire de fN on a, R étant le reate • 

N-(a.l0»+a!)'+R-(a.l0"r+3(a.l0";'x+3(a.l0-te'+x«+R 
d'od 

^_î^xion)^ _ r-^-L- ■ ='- . R 1 

3(0X10*)'^ LaXIO"'^â(rt^lO»7''^8"(oxlO»)'J 
Appelon» q \e quotient entier de [N— (oX10»)'l nar 



3(axlO»)'etR'lere»te, il vient 
R 



X— g - r_ 



nm» +^ 



0»)»J 



L8 (ax 10")» -^ax 10" -^3 (ox loi")" - 3(^;^^ . 
Or la différence entre les cul>e* dedeus nambn» couséontiff 
valant le triple carré du plue petit dee nombre», plu» le triple 
de -Hilni-ci, plu» un ; il s'ensuit que le maximum de R vaut 
3(aX10"+x)'+3(axlO"+x) étalon: 
3(aX10n + j)i^.3(„xioii + a; > 
8(oxi0")" 
X' , x' R> 



as~g. 



-<< 



*"g 






■^aX10°'^3i«xiOn)»~ 3(oX10»)» 
(oxl0")' + 2(axl0n ) x+x^J^JO" + x 
(rixiooy 
X» R- 



ou 



1+- 



X10°"^3(rtX10njt 



a:=gi — < 



3(axi0"/ 
1 



r«X10» («XIO";'^ («XIO») 



+ 



x' 



(axiO")i 



X 



R" 



aXlO" 3(oX10»;» 3(oXlO'>ji 



— 156 — 



Or f N ayant (in+1) chi«reg et a en ayant (n+1), il 

l'ensnit que x a (2n+l— n— l)=.n chiffres ; donc x est plus 

petit qae le pins petit nombre de (n+1) chiffres e. a. d. a!<10" ; 

a a (n+1) chiffres, donc a>10° ;donc anasi oX10"> 10*" 

Il vient alors : 



SB— g— < 



2X10° 10*» 

1^ lO*- 
10*" 3xl0to 



10" 



lO*» 10*" 
R" 



3X104" 



x—q 



-<(: 



«i+- 



R' 



10» ' 10«» 
Mais ponr n~l on a 



lO»- 



3xi0" 
2 1 



8xl0«» 
1 



10 ■^10"'^ 10' ■'■3x10 



■.<1 



et à pins forte raison 
2 



2 



10""*""lO«» 



1 



1 



3X10" 



<1 et par suite 



10»" 
a— 5— <3 
arn. Applloatlon.- Déterminer f5 avec 4 décimales. 

170 (1+1 des chifl'res de la racine) 



6 000 000 000 000 

1 

4 000 
3 913 



3xl'= 



86700 



87 000 

87 000 

87 000 000 000 
86 700 000 



300 

210 

49 

669 
7 



867 000 000 



3o' 

Sab 

b' 



100. Trop fc.', car on ne 
peut obtenir que deux chiffres. 



300 000 000 
Donc f 6=1,7099 à moins de 0,0001. 

N. B. Cette démonstration, comme la démonstration 
analogue pour la racine carrée est due à M' LÉON Lbcoimte, 
prafesMor de Mathématiques à Bruxelles. 



— 187 — 

H. SuB us PBooRisnona . 

878. Série géométrique partiouUèra. 
Déterminer la somme des produits que l'on obtient en mul- 
tiphent terme à terme ane progression par différence et one 
progression par quotient 
Soient les deux progressions ayant n terme*. 

■+■ a. b. i. t, i 

■H- A:B:C :....!: TiL:' ' 
Faisant le produit terme à terme et faisant la somme des 
produits, on a : 

P=Ao+B6+Cc+ : . ,.li+Tt+U 

Or B-A?, C- Aj" . . . . r=A9»-2, L-Aj»-! 
et substituant, il vient : 

P— Aa+ftAj+cAç" <Aî°-2 - iAg»-» (1) 

et multipliant par q l'égalité (1) on a : 

1^q=&.aq+hkq'+cAq' . . . .«Aj— '-j-iAg» (2) 
Retranchant (2) de (1), il vient : 
F (1 -?)-Aa+(6-a) Aq+(c-i) Aq'+ . . (i_o Aj-WAj» 

Or (6 - o)-(c-6) .... (l-k)~r d'où 

P (l-î)-A*+rA?+rAjH . . . .rA.q'-^—lXqf 

P(l— j)=A(o— iî'';+rA?(H-î+î"....ja-«) 

î-1 



Or la somme l+q+q'+q'+. ..,^- 



d'où 



et enfin 



P (1-?)=A {a-lq-)-h-Aq 9l'±l}: 
q-l 

p-tr ^g"— « _ »-g( g°-'-l) -| 
L j-l (î_l)« J 

K. — Sdk les LOOABITHMIil. 

870. l.—La différenee entre le» logarithmes d» dmas 
lumbrea «st d'outoni phu petiU qite ce» wmbre» xmt plut 
grand» et dijffhtrU moiru entre «nx, 



— 158 — 
Soient N et (N+ij) de z nombres; on anra : 

N+d=Nl+f jjj et prenant le logarithme dea deux 
membres, il vient : 

log (N+d)=log [N(l4)]=log N+loR (l+l) 
D'où 

log Œ+dy-log N^Iog (l+l) 

■ Or la différence log (l+j) se rapproche d'autant plus de 

log 1 ou de zéro que ^ est plus petit) c. a. d. que d est petit 

et que N est grand. 

880. II. - Il ett nécessaire que les progressions yénératrices 
d'un sysUme (i« logarithmes contiennent respectivement les 
termes un et zéro et que ces termes se correspondent. 

En effet, supposons que ces termes soient remplacés par k 
et k' par exemple. 

Supposons qu'un produit ah corresponde à un multiple ke 

la progression géométrique et que kc=ah (1) d'où o^-r 

D'autre part, prenant le logarithme de (1) il vient : 

log i+log c=log a+log 6 
Hais log k=K par hypothèse, alors 
fc'+log o=log a+log h et 
log c— log «+log h — k' 

et remplaçant e par sa valeur -r,il vient : 

Iogf-jrj=loga+log6— fc' d'où 

^=N et o6 = fc N 

Donc poar déterminer un produit {ah), il faudrait faire une 
addition (log a 4- log 6), une soustroctioa (log a + log h) — k' et 
\u» multiplication, eelle de k par le nombre naturel oorrea- 



« # 



— 1S9 — 

pondant an résultat logarithmique (log a-f-log 6— il^), e'Mt-à- 
dire qu'un tel système de nombres artificiels compliquerait 
les opérations an lien de les simplifier. 

Les hypothèses k'iet k'=Q font disparaître cette com- 
plication. 

SSL ni. PToblème.=Déterminer le nombre n dt s termes 
de la progression. 

"■■liïï-S)' 

pour que la somme soit 4 à 0,001 
La somme des n termes donne : 

„_ a—lq ji—aq''-^Xq a—bq^ a aq* 



1-9 

Donc (1) -^. 
1-9 



1-q 
4 et 



(2)-^= 0,001 
1 — q 



(1) donne 



il vient: 



'3\n 



1-1 



=0,001 



: ri 
l9-4 

G)' 



1-9 1—9 1-9 



et substituant dans (2) 



=0,001 



'3\» 



=0,00025 



on Q)''-4000 

Prenant le log. des deux membres, il vient 
n(log 4— log 3)= log 4000 



d'où 



log 4000 
iog 4 — log 3 



=21 termes par excès. 



( 



t 



TABLE DES MATIÈRES 







CHAPITRE I. 

Pacb 

s 1- — Numiraiion des nombree entiers 5 

§ ^.—Calcul des nombres eii<i«r8.— Définitions 9 

A. — Addition 9 

B.— Soustraction jl 

C. — Multiplication i j 

D.— Division 15 

Quotient de deux nombres avec une approximation 

donnée 20 

OHAPITRB n. 

- § 1.— Divisibilité des nombi-es. , 23 

I 2. — Plus grand commun diviseur 31 

§ 3 — Plus petit commun multiple 37 

Recherche du plus grand commun diviseur à l'aide 

du plus petit commun multiple 38 

CHAPITRX: in.-Dea firaotioiu: 

§ 1. — Fractions ordinaires 

A. — Numération de» fractions ordinaires 39 

Réduction au même dénominateur 42 

Simplification des fractions 43 ^ 

B. — Calcul des fractions ordinaires 45 

§ 2. — Fractions décimales 

A. — Numération des fractions décimales 4g 

B. — Calcul des fractions décimales ' 50 



--161- 

Cbapitbb in— ÇShnU) Paoi 

S 8.— Convenion dea frétions ordinaira en ftsetions 

décimales , » 

Fraetiona décimales périodiques 53 

5 4.— Conversion des fractions décimales en fraitioM 

ordinaires 5« 

§ S.— Fraetiona eontinue» 57 

OHAPITRB IV. 

S 1.— Puissances et racines des nombres $1 

S 2- — Dn cnrré et de la racine carrée.) gg 

§ 3.— Lois des nombres non carrés parfaits 65 

§ 4.— Racine carrée par approximation 67 

S 6. — Dn cnbe et de la racine cubique 99 

§ 6.— Booino cubique par approximation 73 

CHAPITRE V.-8y«tômp« de poida et meaurei. 

§ 1. — Système métriqiie 75 

A.— Mesures de lon)^enr 7g 

B.— Mesures de surface ; . . . 76 

C. — Mesures de volume 77 

D,— Mesures de capacité 73 

E.— Mesures de poids 70 

F.— Monnaies décimales 79 

5 î. — Meeitres de tempe gj 

§ 3. — Mesurrs circiUairea _ _ ai 

^ 4. — Memiret anciennea 

■A. — Mesures de lonfjrueur gg 

•.^ B. — Mesures de surface 34 

C— Mesures de volume ^ . , . 34 

C— Mesures dé capacité 84 

E. — Mesures de poids 85 

F. — Mesures d'arpentenrs gg 



- 162 — 
OHAPITRS VL-IUpperta at proporUona. 

S l—D^JinitioriÊ .,,,. 87 

§ 2. — Propriété des proporti^ms ^g 

Des moyennes j j 

3 3-~-4ppiico<ion« de» proportion» 92 

A.— Règle» de trois 93 

B.— Bègles de mélange gs 

^ C— Règle d'alliage 9g 

D.— Partage proportionnel 99 

E.— Règles de société 97 

CHAFITRB VU-ProgressioM at logarlthmea. 

I l.—Des progressions gg 

A. —Progressions arithmétiques gg 

B- — Progressions géométriques 103 

S 2.— jDe» logarithmes 

A.— Définitions et considérations générales 107 

B.— Propriétés des logarithmes 10g 

Compléments arithmétiques m 

Modale jjj 

CBAPriRB Vm.— QueaUona d'intérêt 

§ 1. — De» intérêts II5 

A.— Intérêts simples II5 

B. — Intérêts composés 118 

§ 2 — Annuités j22 

§ ^.—Epoque moyenne 1 jg 

§ 4. - Escompte 227 

CHAPITRE IX.-Complémente d'arithmétique. 

A.— Opérations sur les nombres entiers 181 

B.— Théorie des systèmes de numération.' 182 

C. — 1° Nombres premiers 13g 

2^ Caractères de divisibilité 142 






— 16S — 

■ l'i 

Chaprki VL-(Suitt) . PAO» 

D.— IMtenniDttioD des diViMun «implM et «om- 

po«é« d'un nombre 

Leur nombre et leur somme ■, 145 

K.-Dei fnustious périodiqnes. . . ; 146 

. F.— Notes sur la racine carrée 

1° Valeurs suoodssives de |/N 150 

2° Racine carrée par voie de division 161 

C— Notes sur la racine cubique 

1° Valeurs successives de i>'N I64 

2° Racine cubique par voie de division 1S6 

H. — Progressions jjy 

K.— liOgarithmes t ^57 



i 

Hf 

¥ 



•F.A. 



L'Indicttion !«• tiiiiifi* U U* IIkim m nnoalut. 



Paga 



« 

85 

10» 
f « 
124 

198 



ligne 



14" 

Routtraotion: 

ir 

18 
2- « 1 

12- 



10 

7- 



2* 

3 

9 
entre lletl2 



S- 
13' 



' 18 
14' 
W 

ï' 
10 
S", *', «• 
6' 
I 
4* 



eu lieu de 



dix-neui neuf 

1° 036; 2* 133 
IH centeinee 

73« 

{aXhxr) 

( ) 

multiplie per 

nmltiplid par 

Wi 

.(lO^+l) 

par(10™+l) 

10000 (au centre) 

lOOUOO 

643 

BQ- 

uiviRant B 
intercaler 

Ko 

petite . 
(adroite) S'XS 
9xl3x3"x7 
2iW 

3 foÏH 

9x8 

le facteur. . . 

< 

8S0 
§288 

(l+r)«-l 



Ul« 



N+rf: 



=N,+(|) 



Tingt-dix-nani neuf 

28 centaine* 

73xa 

(a+6+r) 

(80) 

multiplié ou diviié pu 

multiplM ou divin! par 

M6 

(10i°> .]) 

|»r (10»- 1) 

70000 

1000000 

MS 

RQ> 
diTi«nt R 
Donc le p. g. c. d. ne pwit 
!tre plui grand que R'' 

B 

grande 

»«X7 

»x8ix7 

UO 

S foie 
fxj 
ï^ 

le plus grand facteur 

< 

990 

§298 

(l+r)»-! 



N+rf 



=N(,+ -)